已知n∈N^*，函數(shù)f (x)=x³-nx²+(2ⁿ+1)，x∈R．

   （I）當(dāng)n=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

   （II）設(shè)函數(shù)f(x)在[-1，1]上的最大值為a_n，記b_n=，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n<．

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x+3

3x

(x＞0)，數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=f(

1

an-1

)(n∈N*，且n≥2)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（III）在數(shù)列{a_n}中是否存在這樣一些項(xiàng)：an1，an2，an3，…，ank，…(1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…，k∈N*)，這些項(xiàng)能夠構(gòu)成以a₁為首項(xiàng)，q（0＜q＜5，q∈N^*）為公比的等比數(shù)列{ank}，k∈N^*．若存在，寫出n_k關(guān)于k的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由．