所以a>1．

由恒成立，又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ……………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………………………9分

以下證明．      （※）

（※）等價于． ……………………………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，…………………………………………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上為增函數(shù)．

當x₁<x₂時，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

從而得到證明．……………………………………………………………………15分

對于同理可證……………………………………………………………16分

所以．

評講建議：

此題主要考查函數(shù)、導數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等知識．評講時注意著重導數(shù)在研究函數(shù)中的應用．本題的第一小題是常規(guī)題比較容易，第二小題是以數(shù)學分析中的中值定理為背景，作輔助函數(shù)，利用導數(shù)來研究函數(shù)的性質，是近幾年高考的熱點．第二小題還可以這樣證明：

要證明，只要證明>1，令，作函數(shù)h（x）＝t－1－lnt，下略．

19．（本小題滿分16分）

已知函數(shù)（a＞0，且a≠1），其中為常數(shù)．如果 是增函數(shù)，且存在零點（為的導函數(shù)）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數(shù)y＝g（x）的圖象上兩點，（ 為的導函數(shù)），證明：．

解：（Ⅰ）因為，

所以． …………………………………………3分

因為h（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立．

若0<a<1，則lna<0，于是恒成立．

又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna<0矛盾．

如果直線AB與⊙P相切，則?＝－1． ………………………………………12分

解出c＝0或2，與0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分

所以直線AB與⊙P不能相切． …………………………………………………………15分

評講建議：

此題主要考查直線與直線、直線與圓以及橢圓的相關知識，要求學生理解三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點，從而大膽求出交點坐標，構造關于橢圓中a，b，c的齊次等式得離心率的范圍．第二小題亦可以用平幾的知識：圓的切割線定理，假設直線AB與⊙P相切，則有AB²＝AF×AC，易由橢圓中a，b，c的關系推出矛盾．

18．（本小題滿分15分）

已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、

C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．

（Ⅰ）當m＋n>0時，求橢圓離心率的范圍；

（Ⅱ）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結論．

解：（Ⅰ）設F、B、C的坐標分別為（－c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為

，．………………………………………………………………2分

聯(lián)立方程組，解出……………………………………………………………4分

，即，即（1＋b）（b－c）>0，

∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分

從而即有，∴．……………………………………………………7分

又，∴． …………………………………………………………………8分

（Ⅱ）直線AB與⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分

由，＝． ………………………………………………10分

17．（本小題滿分15分）

口袋中有質地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：

甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，

否則算乙贏．

（Ⅰ）求甲贏且編號的和為6的事件發(fā)生的概率；

（Ⅱ）這種游戲規(guī)則公平嗎?試說明理由．

解：（I）設“甲勝且兩數(shù)字之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5個．……………………2分

又甲、乙二人取出的數(shù)字共有5×5＝25（個）等可能的結果， ……………………4分

所以． ………………………………………………………………………6分

答：編號的和為6的概率為．…………………………………………………………………7分

     （Ⅱ）這種游戲規(guī)則不公平．……………………………………………………………………9分

設“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C， ……………………………………………10分

則甲勝即兩數(shù)字之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為13個：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），

（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．

所以甲勝的概率P（B）＝，從而乙勝的概率P（C）＝1－＝．…………14分

由于P（B）≠P（C），所以這種游戲規(guī)則不公平． ………………………………15分

評講建議：

    本題主要考查古典概率的計算及其相關知識，要求學生列舉全面，書寫規(guī)范．尤其注意此類問題的答題格式：設事件、說明概型、計算各基本事件種數(shù)、求值、作答．

引申：連續(xù)玩此游戲三次，若以D表示甲至少贏一次的事件，E表示乙至少贏兩次的事件，試問D與E是否為互斥事件?為什么?（D與E不是互斥事件．因為事件D與E可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意；亦可分別求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得兩者一互斥．）

16．（本小題滿分14分）

直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，

∠BAD＝∠ADC＝90°，．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）在A₁B₁上是否存一點P，使得DP與平面BCB₁與

平面ACB₁都平行？證明你的結論．

證明：（Ⅰ） 直棱柱中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁⊥AC． ………………2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………………………………5分

又，平面BB₁C₁C， AC⊥平面BB₁C₁C．  ………………7分

（Ⅱ）存在點P，P為A₁B₁的中點． ……………………………………………………………8分

證明：由P為A₁B₁的中點，有PB₁‖AB，且PB₁＝AB．……………………………………9分

又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB₁，且DC＝ PB₁，

∴DC PB₁為平行四邊形，從而CB₁∥DP．……………………………………………11分

又CB₁面ACB₁，DP 面ACB₁，DP‖面ACB₁．………………………………13分

同理，DP‖面BCB₁．……………………………………………………………………14分

評講建議：

本題主要考查線面平行、垂直的的判定和證明等相關知識，第一小題要引導學生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小題，要求學生熟練掌握一個常用結論：若一直線與兩相交平面相交，則這條直線一定與這兩平面的交線平行；同時注意問題的邏輯要求和答題的規(guī)范性，這里只需要指出結論并驗證其充分性即可，當然亦可以先探求結論，再證明之，這事實上證明了結論是充分且必要的．

變題：

求證：（1）A₁B⊥B₁D；（2）試在棱AB上確定一點E，使A₁E∥平面ACD₁，并說明理由．

15．（本小題滿分14分）

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且．

  （Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若m，n，試求|mn|的最小值．

解：（Ⅰ），……………………………………………3分

即，

∴，∴． ………………………………………………5分

∵，∴．………………………………………………………………7分

（Ⅱ）mn ，

|mn|．…………10分

∵，∴，∴．

從而．……………………………………………………………12分

∴當＝1，即時，|mn|取得最小值．……………………13分

所以，|mn|．………………………………………………………………14分

評講建議：

    本題主要考查解三角形和向量的運算等相關知識，要求學生涉及三角形中三角恒等變換時，要從化角或化邊的角度入手，合理運用正弦定理或余弦定理進行化簡變形；在第二小題中，要強調多元問題的消元意識，進而轉化為函數(shù)的最值問題，注意定義域的確定對結論的影響，并指明取最值時變量的取值．

10．<    11．    12．     13．    14．

1．   2．2   3．0.03  4．  5．④   6．   7．－8   8．3   9．－1

14．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數(shù)，且，如果b＝m（mN*），則這樣的三角形共有   ▲  個（用m表示）．

說明：本題是推理和證明這一章的習題，考查合情推理能力．講評時可改為c＝m再探究．本題也可以用線性規(guī)劃知識求解．

填空題答案：