1. m和n都是正整數(shù),a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的數(shù),只要有ai +aj≤ n(i,j可能相同)那么就有某個(gè)k使ai +aj=ak,
求證(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。
2. △ABC是等腰三角形,AB=AC,M是BC的中點(diǎn),O是線AM上的點(diǎn)且OB⊥AB,Q為線段BC上不同于B,C 的任意一點(diǎn),E,F分別在AB,AC上使得E,Q,F不同并共線。
求證:OQ⊥EF當(dāng)且僅當(dāng)QE=QF。
3. 對(duì)任何正整數(shù)k,定義f(k)為集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二進(jìn)制表示后恰有3個(gè)1的元素的個(gè)數(shù),
求證對(duì)于每個(gè)正整數(shù)m,存在至少一個(gè)k使f(k)=m;并求出使得恰有一個(gè)k的所有m值。
4. 試求出所有的正整數(shù)對(duì)(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整數(shù)。
5. S是所有大于-1的實(shí)數(shù)集,試找出所有的從S到S的函數(shù)f滿足對(duì)所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且對(duì)于-1<x<0和0<x,f(x)/x使嚴(yán)格遞增的。
6. 試證明存在滿足下列性質(zhì)的正整數(shù)集合A:對(duì)任何由素?cái)?shù)構(gòu)成的無限集S,都有k≥2以及兩個(gè)正整數(shù)m,n,m ∈A, n不∈A,m和n都是S中k個(gè)不同元素的乘積。
1. 設(shè)f(x)=xn+5xn-1+3,其中n>1是一個(gè)整數(shù)。
求證f(x)不能表示成兩個(gè)非常數(shù)的整系數(shù)得多項(xiàng)式的乘積。
2. 設(shè)D是銳角三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)且∠ADB=∠ACB+90o,AC?BD=AD?BC,
3.
在一個(gè)無限大的棋盤上以如下方式做游戲。開始時(shí)棋盤中的一個(gè)n×n的框上整齊的擺放著n2個(gè)棋子(每個(gè)小方格上放著一個(gè)棋子),游戲的每一步都是在水平或者豎直方向上跨越一個(gè)棋子而
跳到一個(gè)空格子上去,并同時(shí)取走所跨越過的棋子。
試找出所有的n值使得游戲以只留一個(gè)棋子在棋盤上而結(jié)束。
4. 對(duì)平面上的三個(gè)點(diǎn)P,Q,R,定義m(PQR)為△PQR的最短高的長(zhǎng)度(如果P,Q,R共線當(dāng)然有 m(PQR)=0)。
求證對(duì)任何點(diǎn)A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。
5.
問是否存在一個(gè)從正整數(shù)到正整數(shù)的函數(shù)f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n對(duì)所有n,并且
f(n<f(n+1))?
6. 有n>1盞燈L0,L1,...,Ln-1繞成一圈,為方便Ln+k也表示Lk。 一盞燈只有開或關(guān)兩個(gè)狀態(tài),初始時(shí)刻它們?nèi)情_著的,依次執(zhí)行步驟s0,s1,...,:在步驟si, 如果Li-1點(diǎn)燃,就關(guān)掉Li,否則什么都不做。試證明:
1. 試找出所有的整數(shù)a,b,c滿足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。
2. 找出所有定義在實(shí)數(shù)上并且取值也是實(shí)數(shù)的函數(shù)f使得對(duì)所有x,y都有
f(x2+f(y))=y+f(x)2。
3. 空間中有9個(gè)點(diǎn),無4點(diǎn)共面,每?jī)牲c(diǎn)之間連接一個(gè)被染上紅色或藍(lán)色或者不染色的線段,試找出最小的n使得,只要恰好有n條線段被染色,這些染色的線段一定包含一個(gè)同色三角形(即三角形的三邊被染上相同的顏色)。
4. L是圓Γ的一條切線,M是L上的一點(diǎn),試找出所有這樣的點(diǎn)P的軌跡:存在L上的關(guān)于M對(duì)稱的兩點(diǎn)Q,R,△PQR的內(nèi)切圓是Γ。
5. 設(shè)S是三維空間中的一個(gè)有限點(diǎn)集, 集合Sx,Sy,Sz分別是S在平面yz,zx,xy上的投影,
求證:|S|2<=|Sx|?|Sy|?|Sz|。
其中|A|表示集合A的元素個(gè)數(shù)。
[注:一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面上正交投影指的是該點(diǎn)到平面作垂線的垂足。]
6. 對(duì)正整數(shù)n,S(n)是滿足如下條件最大的整數(shù):對(duì)每個(gè)正整數(shù)k<= S(n),n2都可寫成k個(gè)完全平方數(shù)的和。
1. 設(shè)I是△ABC的內(nèi)心,∠A,∠B,∠C的交平分線分別交對(duì)邊于A',B',C'點(diǎn),求證:
1
<
AI?BI?CI
≤
8
4
AA'?BB'?CC'
27
2. 設(shè)n>6是一個(gè)整數(shù),a1,a2,...,ak 都是小于n的正整數(shù)并且與n互素。
如果a2-a1=a3-a2=... =ak-ak-1>,
求證,n是質(zhì)數(shù)或者是2的冪次方。
3. 試找出最小的整數(shù)n使得每一個(gè)S的n元子集都包含5個(gè)兩兩互素的數(shù)。
4. 設(shè)G是一個(gè)有k條邊的連通圖,試證明可是對(duì)這些邊編號(hào)1,2,...,k使得對(duì)于每個(gè)屬于兩條或兩條以上的邊的頂點(diǎn), 從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有邊的標(biāo)號(hào)的最大公約數(shù)是1。
注:一個(gè)圖是由一組頂點(diǎn)和一些連接這些頂點(diǎn)的線段(稱為邊)組成。 每對(duì)頂點(diǎn)之間最多有1條邊。如果對(duì)圖中的任何兩個(gè)不同的頂點(diǎn)x,y都有一些頂點(diǎn)x=v0,v1,..., vm=y使得vi,vi+1(0<=i<m)之間都有一條邊,則稱這個(gè)圖是連通的。
5. X是△ABC內(nèi)部中的一個(gè)點(diǎn),試證明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一個(gè)不大于30o。
6. 任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)a>1,試構(gòu)造一個(gè)有界的無限序列x0,x1,x2,...
使得對(duì)任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。
注:一個(gè)無限實(shí)數(shù)序列x0,x1,x2,... 是有界的如果存在一個(gè)常數(shù)C使得|xi|<C對(duì)任何i成立。
1. 弦AB,CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)E,M是線段EB上的一點(diǎn),過E點(diǎn)與△DEM外接圓的切線分別交BC,AC于F,G。
設(shè)t=AM/AB,試用t表示EF/EG。
2. 設(shè)n>=3,考慮一個(gè)圓上由2n-1個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成的集合E,F(xiàn)給E中恰好k個(gè)點(diǎn)染上黑色,如果至少有一對(duì)黑點(diǎn)使得這兩個(gè)黑點(diǎn)之間的弧上(兩段弧中的某一個(gè))包含恰好E中的n個(gè)點(diǎn),就成這樣的染色方法是“好的”。
試找出對(duì)于集合E能保證任意一種染色方法都是“好的”的最小的k值。
3. 試找出所有大于1的正整數(shù)n滿足(2n+1)/n2也是整數(shù)。
4. 試構(gòu)造一個(gè)從正有理數(shù)集到正有理數(shù)集的函數(shù)f使
f(xf(y))=f(x)/y 對(duì)任何x,y都成立。
5. 給定一個(gè)初始整數(shù)n0>1,兩個(gè)玩家A,B根據(jù)下述規(guī)則交替的選擇整數(shù)n1,n2,n3,...:
若A選到了數(shù)1990就獲勝;若B選到了1就獲勝。分別求除滿足下述條件之一的n0:
(1) A有必勝策略;
(2) B有必勝策略;
(3) A,B都沒有必勝策略。
6. 求證存在一個(gè)凸1990邊形使得所有角都相等并且邊長(zhǎng)是12,22,...,19902(順序不定)。
1. 試證明集合{1,2,...,1989}可以分拆成117個(gè)子集合A1,A2,...,A117 (即這些子集合互不相交且并集為整個(gè)集合),滿足每個(gè)Ai包含17個(gè)元素,并且每個(gè)Ai中元素之和都相等。
2. 銳角△ABC,內(nèi)角∠A的角平分線交△ABC的外界圓于A_1,類似定義B1,C1點(diǎn)。設(shè)AA1與∠ B,∠C的外交平分線交于A0點(diǎn),類似定義B0,C0點(diǎn)。
求證:△A0B0C0的面積是六邊形AC1BA1CB1的 兩倍也是△ABC面積的至少4倍。
3. 設(shè)n,k是正整數(shù),S是由平面上n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合并且無三線共點(diǎn),對(duì)任何S中的點(diǎn)P至少存在S中的k個(gè)點(diǎn)與P等距離。
求證: k<1/2+√2n。
4. 凸四邊形ABCD的邊AB,AD,BC滿足AB=AD+BC,四邊形內(nèi)部有一與直線CD距離為h的點(diǎn)P,并且AP=h+AD,BP=h+BC,
求證:1/√h<=1/√AD+1/√BC。
5. 試證明對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,存在n個(gè)連續(xù)的正整數(shù)使得其中無素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的冪。
6. 設(shè){x1,x2,...,xm} 是{1,2,...,2n}的一個(gè)排列,其中n是一個(gè)正整數(shù)。如果|xi-xi+1|=n對(duì)至少 {1,2,...,2n-1}中的一個(gè)i成立就說這個(gè)排列{x1,x2,...,xm}具有性質(zhì)P。 試證明對(duì)于任意的n,具有性質(zhì)P的排列都比不具有的多。
1. 找出所有具有下列性質(zhì)的三位數(shù) N:N能被11整除且 N/11等于N的各位數(shù)字的平方和。
2. 尋找使下式成立的實(shí)數(shù)x:
4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9
3. 直角三角形ABC的斜邊BC的長(zhǎng)為a,將它分成 n 等份(n為奇數(shù)),令a為從A點(diǎn)向中間的那一小段線段所張的銳角,從A到BC邊的高長(zhǎng)為h,求證:
tan a = 4nh/(an2 - a).
4. 已知從A、B引出的高線長(zhǎng)度以及從A引出的中線長(zhǎng),求作三角形ABC。
5. 正方體ABCDA'B'C'D'(上底面ABCD,下底面A'B'C'D')。X是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn),Y是B'D'上任意一點(diǎn)。
6. 一個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)接球,又有一圓柱體外切于此圓球,其底面落在圓錐的底面上。令V1 為圓錐的體積,V2 為圓柱的體積。
(a). 求證:V1 不等于 V2 ;
(b). 求V1/V2 的最小值;并在此情況下作出圓錐頂角的一般。
7. 等腰梯形ABCD,AB平行于DC,BC=AD。令A(yù)B=a,CD=c,梯形的高為 h。X點(diǎn)在對(duì)稱軸上并使得 角BXC、AXD都是直角。試作出所有這樣的X點(diǎn)并計(jì)算X到兩底的距離;再討論在什么樣的條件下這樣的X點(diǎn)確實(shí)存在。
1. 考慮平面上同一圓心的兩個(gè)半徑分別為R > r的圓。P點(diǎn)是小圓上一個(gè)固定的點(diǎn),B使大圓上的動(dòng)點(diǎn),BP交大圓于C,過P點(diǎn)作BP的垂線交小圓于A點(diǎn)(如果相切則A=P),
2. n是正整數(shù), A1, A2, ... , A2n+1 都是集合B的子集,假設(shè)
試問對(duì)于什么樣的n值有辦法將B中的元素都標(biāo)上0或1使得每個(gè) Ai 都恰好包含n個(gè)標(biāo)0的元素。
3. 函數(shù) f 定義在正整數(shù)集上:f(1) = 1; f(3) = 3; 且對(duì)每個(gè)正整數(shù) n 有
f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)。
試確定小于或等于1988并滿足 f(n) = n 的正整數(shù) n 的個(gè)數(shù)。
4. 試證明滿足
1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70) >= 5/4.
的所有實(shí)數(shù) x 的集合是一些互不相交的區(qū)間的并集,并且這些區(qū)間的長(zhǎng)度之和是 1988。
5. 三角形△ABC, 角∠A是直角,D是BC邊上的高的垂足。三角形△ABD、三角形△ACD 的內(nèi)心的連線分別交邊AB, AC于K,L。求證:三角形ABC的面積是三角形AKL的面積的至少兩倍。
6. a,b都是正整數(shù),且 ab+1整除 a2 + b2. 求證(a2 + b2)/(ab + 1)是完全平方數(shù)。
1. 設(shè) pn(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 個(gè)固定點(diǎn)的排列的個(gè)數(shù),求證 k從 0 到 n 對(duì)(k pn(k) )的求和是 n!。
[一個(gè)集合S的一個(gè)排列是從S到它自身的一一映射。元素 i 稱為是 f 固定點(diǎn)如果 f(i) = i。]
2. 銳交三角形ABC 的內(nèi)角A的角平分線交BC于 L,交ABC的外接圓于 N,從 L 點(diǎn)向 AB,AC做垂線,垂足分別是 K、M,求證四邊形 AKNM的面積與三角形ABC的面積相等。
3. x1, x2, ... , xn 是實(shí)數(shù)并且滿足x12 + x22 + ... + xn2 = 1,求證對(duì)每個(gè)正整數(shù)k >= 2存在不全為0的整數(shù)a1, a2, ... , an,使得對(duì)每個(gè) i有|ai| <= k - 1 及
|a1x1 + a2x2 + ... + anxn| <= (k - 1)√n/(kn-1)。
4. 求證不存在從非負(fù)整數(shù)到非負(fù)整數(shù)的函數(shù) f滿足對(duì)所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。
5. n是大于或等于3的整數(shù),求證存在一個(gè)由平面上n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合滿足任何兩點(diǎn)的距離都是無理數(shù)并且任何三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為有理數(shù)的非退化的三角形。
6. n是大于或等于2的整數(shù),如果對(duì)所有0<=k<=√n/3都有k2 + k + n 是素?cái)?shù),則
當(dāng)0<=k<=n-2時(shí),k2 + k + n 都是素?cái)?shù)。
1. d是不為2,5,13的正整數(shù),試證明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的兩數(shù)a,b滿足ab-1不是一個(gè)完全平方數(shù)。
2. 在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一給定點(diǎn)P0,當(dāng)s>=4時(shí)定義 As = As-3 ,現(xiàn)使用以下的方法構(gòu)造一系列點(diǎn)P1, P2, P3, ...: Pk+1 是 Pk 繞 Ak+1 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度得到的點(diǎn)(k = 0, 1, 2,...)。如果 P1986 = P0,求證A1A2A3是等邊三角形。
3. 給正五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)賦值一個(gè)整數(shù),使這5個(gè)整數(shù)之和是正的。對(duì)于任何三個(gè)連續(xù)的頂點(diǎn)設(shè)它們所賦予的數(shù)分別是x,y,z,如果y < 0則執(zhí)行下述操作:將x,y,z分別替換為x + y, -y, z + y。重復(fù)執(zhí)行這樣的操作直到這5個(gè)頂點(diǎn)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)值。試問能否經(jīng)過有限步之后操作結(jié)束。
4. O是正n(n >= 5)邊形的中心 ,設(shè) A, B 是一對(duì)相鄰的頂點(diǎn)。設(shè)開始的時(shí)候三角形XYZ與三角形OAB重合,現(xiàn)用如下的方式移動(dòng)三角形XYZ:保持Y、Z始終在多邊形的邊界上、X在多邊形的內(nèi)部。試求出當(dāng)Y、Z都走遍多邊形的邊界時(shí)X點(diǎn)所形成的軌跡。
5. 試找出所有定義在非負(fù)實(shí)數(shù)并取值也是非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù) f,使其滿足f(2) = 0;當(dāng) 0<= x <2時(shí)f(x)不等于0;對(duì)所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。
6. 給定平面上的一個(gè)有限點(diǎn)集,每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是整數(shù),問有沒有一種將這些點(diǎn)涂成紅色或白色的染色方法使得在任何一條平行于坐標(biāo)軸(兩個(gè)坐標(biāo)軸中的任何一個(gè))的直線 L上的紅點(diǎn)和白點(diǎn)的個(gè)數(shù)之差不大于1?
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