Question

【題目】海事救援船對一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長度），則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處，如圖，現(xiàn)假設(shè)：

①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線 ；
②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；
③救援船出發(fā)t小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t
（1）當(dāng)t=0.5時(shí)，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo)，若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向．
（2）問救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？

Answer 1

【答案】
（1）解：t=0.5時(shí)，P的橫坐標(biāo)xP=7t= ，代入拋物線方程 中，得P的縱坐標(biāo)yP=3．

由|AP|= ，得救援船速度的大小為 海里/時(shí)．

由tan∠OAP= ，得∠OAP=arctan ，故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan 弧度．

（2）解：設(shè)救援船的時(shí)速為v海里，經(jīng)過t小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為（7t，12t2）．

由vt= ，整理得 ．

因?yàn)? ，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．

因此，救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船．

【解析】（1）t=0.5時(shí)，確定P的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程 中，可得P的縱坐標(biāo)，利用|AP|= ，即可確定救援船速度的大小和方向；（2）設(shè)救援船的時(shí)速為v海里，經(jīng)過t小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為（7t，12t2），從而可得vt= ，整理得 ，利用基本不等式，即可得到結(jié)論．