Question

【題目】如圖

（1）證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．
（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一：如圖，過直線b上任一點(diǎn)作平面α的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n對(duì)應(yīng)的方向向量分別是 ，則 共面，

根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)λ，μ使得 ，

則 =

因?yàn)閍⊥b，所以 ，

又因?yàn)閍α，n⊥α，

所以 ，

故 ，從而a⊥c

證法二

如圖，記c∩b=A，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P做PO⊥π，垂足為O，則O∈c，

∵PO⊥π，aπ，

∴直線PO⊥a，

又a⊥b，b平面PAO，PO∩b=P，

∴a⊥平面PAO，

又c平面PAO，

∴a⊥c

（2）證明：逆命題為：a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b，

逆命題為真命題

【解析】（1）證法一：做出輔助線，在直線上構(gòu)造對(duì)應(yīng)的方向向量，要證兩條直線垂直，只要證明兩條直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積等于0，根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到結(jié)果．
證法二：做出輔助線，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得到線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再根據(jù)性質(zhì)得到結(jié)論．（2）把所給的命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置，得到原命題的逆命題，判斷出你命題的正確性．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用四種命題和向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，掌握原命題：若P則q； 逆命題：若q則p；否命題：若┑P則┑q；逆否命題：若┑q則┑p；設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即;則要證明，只需證明，即即可以解答此題．