Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線，分別與圓交于兩點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求；

（2）若，求證：直線過(guò)定點(diǎn)

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)切線公式求出，得出，結(jié)合二倍角公式，利用向量數(shù)量積定義結(jié)合得解；

（2）分別討論當(dāng)直線MN斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合韋達(dá)定理求解.

（1），，

所以.

所以，

所以

（2）（i）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

AM所在直線方程y=x+2，直線與圓O的交點(diǎn)為M（0,2），

AN所在直線方程y=-x-2，直線與圓O的交點(diǎn)為M（0,-2），

MN所在直線方程為x=0；

（ii）當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)其所在直線為y=kx+m，

設(shè)直線MN與圓O的交點(diǎn)

則

，

，

，或，

當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)A，即重合，舍去，

所以，即所在直線為y=kx，過(guò)定點(diǎn)（0,0）

綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn)（0,0）