如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿軸勻速向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)即停止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．

（1）過點(diǎn)作對角線的垂線，垂足為點(diǎn)．求的長與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在對角線上時(shí)，求此時(shí)直線的函數(shù)解析式；
（3）探索：以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積能否達(dá)到矩形面積的？請說明理由．

如圖1，點(diǎn)將線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)．
某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個(gè)面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在中，若點(diǎn)為邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線是的黃金分割線．你認(rèn)為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)任作一條直線交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作直線，交于點(diǎn)，連接（如圖3），則直線也是的黃金分割線．
請你說明理由．
（4）如圖4，點(diǎn)是的邊的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，顯然直線是的黃金分割線．請你畫一條的黃金分割線，使它不經(jīng)過各邊黃金分割點(diǎn)．

在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，并且原多邊形上的任一點(diǎn)，它的對應(yīng)點(diǎn)在線段或其延長線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為，其中點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角．
（1）填空：
①如圖1，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為（           ，             ）；
②如圖2，是邊長為的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，則線段的長為           ；
（2）如圖3，分別以銳角三角形的三邊，，為邊向外作正方形，，，點(diǎn)，，分別是這三個(gè)正方形的對角線交點(diǎn)，試分別利用與，與之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段與之間的關(guān)系．

（1）如圖一，等邊△ABC中，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連結(jié)AE。求證：AE//BC；
（2）如圖二，將(1)中等邊△ABC的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。請問：是否仍有AE//BC？證明你的結(jié)論。
              

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，D是⊙O上的一點(diǎn)，且AD//CO。

（1）求證：△ADB∽△OBC；
（2）若AB=2，BC=，求AD的長。（結(jié)果保留根號）

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,對角線AC⊥BD,垂足為F,過點(diǎn)F作EF∥AB,交AD于點(diǎn)E,CF=4cm.

⑴求證：四邊形ABFE是等腰梯形;
⑵求AE的長.

小胖和小瘦去公園玩標(biāo)準(zhǔn)的蹺蹺板游戲，兩同學(xué)越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我就能翹到1米25，甚至更高！”

（1）你認(rèn)為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明；
（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸，軸的正半軸上，且滿足．

（1）求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)B作⊙O的切線，交于CA的延長線于點(diǎn)E，∠EBC=2∠C.

(1)求證：AB=AC；(2)當(dāng)=時(shí)，①求tan∠ABE的值；②如果AE=，求AC的值。

已知：如圖，中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為直徑的切于點(diǎn)，．

（1）求的長；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求的長．