如圖，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是______，cosA的值是______________．(結果保留根號)

如圖，E是矩形ABCE的邊BC上一點，EF⊥AE，EF分別交AC、CD于點M、F，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H。
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；
（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長。

如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，且AE⊥DE；
（1）求證：△ABE∽△ECD
（2）若AB=2，CD=3，BC=7，求BE的長；

如圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角扳的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．

（1）求證：；
（2）如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，題（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：
（3）如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點，其他條件不變，若，求的值．

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB =" ∠EDF" = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm，BC =" 6" cm，EF =" 9" cm．
如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，設四邊形APEC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關系式；是否存在某一時刻t，使面積y最��？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由．
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學們做題使用）

如圖1，已知，，．是射線上的動點（點與點不重合），是線段的中點．

（1）設，的面積為，求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）如果以線段為直徑的圓與以線段為直徑的圓外切，求線段的長；
（3）連接，交線段于點，如果以為頂點的三角形與相似，求線段的長．

網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1.
（1）將圖①中的格點三角形ABC平移，使點A平移至點A’，畫出平移后的三角形A’B’C’；
（2）在圖②中畫一個格點三角形DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為2∶1。

如圖，把一個矩形紙片ABCD沿AD和BC的中點連線EF對折，要使矩形AEFB與原矩形相似，且AB=6.

（1) 求AD的長。
（2）求矩形AEFB與原矩形ABCD的相似比。

如圖，在邊長為4的正方形中，點在上從向運動，連接交
于點．

⑴試證明：無論點運動到上何處時，都有△≌△；
⑵當點在上運動到什么位置時，△的面積是正方形面積的；
⑶若點從點運動到點，再繼續(xù)在上運動到點，在整個運動過程中，當點 運動到什么位置時，△恰為等腰三角形．

操作：如圖①，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交于點O，請利用圖①畫出一對以點O為對稱中心的全等三角形。

根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗完成下列探究活動：（本題12分）
探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F。試探究線段AB與AF、CF之間的等量關系，并證明你的結論；

探究二：如圖③，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的長度。