Question

【題目】已知，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接、和，點(diǎn)在直線上，且滿足．小明在探究圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：始終成立．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)；

①求證：；

②用等式表示線段、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）當(dāng)時(shí)，直接用等式表示線段、與之間的數(shù)量關(guān)系是______．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）①根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到△ABC≌△ADC，求得∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ACD=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

②過(guò)A作AP⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，得到∠PAF=∠DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖2，過(guò)A作AP⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于P，求得△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，得到∠PAF=∠DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）①∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)

∴

∴，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

在四邊形中，

∴

②

解：過(guò)點(diǎn)作邊的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)

∴是等腰直角三角形，，

∵

∴

∵

∴

∴

在等腰中，

∴

（2）

當(dāng)90°＜∠BAC＜135°時(shí)，如圖2，

過(guò)A作AP⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于P，

∴△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°，AP=AC，

∵∠PAF-∠FAC=∠DAC-∠FAC=90°，

∴∠PAF=∠DAC，

∵∠AFB=∠ADC，

∴△APF≌△ACD（ASA），

∴PF=CD，

∵在等腰直角三角形APC中，PF-CF=PC=AC，

∴CD-CF=AC，

故答案為：CD-CF=AC．