Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+b與y軸交于點B（0，﹣3），與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于點A，與x軸交于點C，BC＝3AC

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若P是y軸上一動點，M是直線AB上方的反比例函數y＝（x＞0）的圖象上一動點，直線MN⊥x軸交直線AB于點N，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的解析式為y＝；（2）

【解析】

（1）易求得直線的解析式為y＝x﹣3，作AD⊥x軸于D，根據平行線分線段成比例定理求得AD＝1，在A的縱坐標為1，代入直線解析式求得橫坐標，把A（8，1）代入y＝（x＞0）即可求得k的值；

（2）設M（x，），則N（x，x﹣3），得到MN＝﹣+3，根據三角形面積公式得到S△PMN＝﹣（x﹣3）2+，從而求得△PMN面積的最大值是．

解：（1）∵直線與y軸交于點B（0，﹣3），

∴b＝﹣3，

∴直線為y＝﹣3，

作AD⊥x軸于D，

∴AD∥OB，

∴

∵點B（0，﹣3），BC＝3AC，

∴，

∴AD＝1，

把y＝1代入y＝﹣3得，1＝﹣3，解得x＝8，

∴A（8，1），

∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點A，

∴k＝8×1＝8，

∴反比例函數的解析式為y＝；

（2）設M（x，），則N（x，x﹣3），

∴MN＝﹣+3，

∴S△PMN＝，

∵﹣＜0，

∴△PMN面積的最大值是．