Question

市政府決定，2014年將位于濱湖南路和西路交叉路口（洋瀾湖西南角）的桔園改造為生態(tài)公園，內(nèi)建一個休閑廣場（平面圖形如圖所示）．其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB、BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓．現(xiàn)計劃在矩形ABCD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等，平均每平方米造價為428元，在四個半圓的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖，平均每平方米造價為400元；若整個廣場外沿的周長為628米．設(shè)矩形的邊長AB=y米，BC=x米．（注：取π=3.14）
（1）試用含x的代數(shù)式表示y；
（2）設(shè)該工程的總造價為W元，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若該工程政府投入1千萬元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計方案；若不能，請說明理由；
（4）若該工程在政府投入l千萬元的基礎(chǔ)上，又增加企業(yè)募捐資金64.82萬元，但要求矩形的邊BC的長為整數(shù)且不超過AB長的三分之二，問：能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計方案；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）把組合圖形進(jìn)行分割拼湊，利用圓的周長計算公式解答整理即可；
（2）利用組合圖形的特點，算出種植花草和鋪設(shè)鵝卵石各自的面積，進(jìn)一步求得該工程的總造價即可解答；
（3）利用配方法求得最小值進(jìn)行驗證即可得出結(jié)論；
（4）建立不等式與一元二次方程，求出答案結(jié)合實際即可解決問題．

解答：解：（1）由題意得，πy+πx=628，
∵3.14y+3.14x=628，
∴y+x=200，則y=200-x；

（2）由題意得出：
W=428xy+400π（

y

2

）²+400π（

x

2

）²，
=428x（200-x）+400×3.14×

(200-x)2

4

+400×3.14×

x2

4

，
=200x²-40000x+12560000；

（3）僅靠政府投入的1千萬不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)．理由如下：
由（2）知W=200（x-100）²+1.056×10⁷＞10⁷，
所以不能；

（4）由題意可知：x≤

2

3

y即x≤

2

3

（200-x）
解之得x≤80，
∴0＜x≤80，
由題意得：W=200（x-100）²+1.056×10⁷=10⁷+6.482×10⁵，
整理得（x-100）²=441，
解得x₁=79，x₂=121（不合題意舍去），
∴只能取x=79，
則y=200-79=121；
所以設(shè)計方案是：AB長為121米，BC長為79米，再分別以各邊為直徑向外作半圓．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題利用基本數(shù)量關(guān)系和組合圖形的面積列出二次函數(shù)，運用配方法求得最值，進(jìn)一步結(jié)合不等式與一元二次方程解決實際問題．