Question

如圖，在平面直角坐標系中，A點的坐標為（4，0），B點的坐標為（0，4），C點的坐標為（8，0）．點P是直線BC在第一象限上的一點，O是原點．
（1）求直線BC的解析式；
（2）設(shè)P點的坐標為（x，y），△OPA的面積為S，試求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在點P，使PO=PA？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點B、C的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；
（2）如圖，過點P作PD⊥x軸于點D．根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到點P的坐標為（x，-

1

2

x+4），則PD=|y|=|-

1

2

x+4|=-

1

2

x+4；然后根據(jù)三角形的面積公式列出S關(guān)于x的關(guān)系式；
（3）存在點P，使PO=PA．利用假設(shè)法進行證明：假設(shè)存在這樣的點P，過P點作PD⊥x軸于D．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求得OD=AD=2，即點P的橫坐標為2，則把點P的橫坐標代入直線BC的解析式，求得點P的縱坐標，根據(jù)點P的坐標來證得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）．則依題意得

b=4 8k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=4

．
所以直線BC的解析式為y=-

1

2

x+4；

（2）如圖，過點P作PD⊥x軸于點D．
∵點P是直線y=-

1

2

x+4在第一象限上的一點，且坐標為（x，y），
∴PD=|y|=|-

1

2

x+4|=-

1

2

x+4．
∵A點的坐標為（4，0），
∴OA=4，
∴△OPA的面積為：S=

1

2

OA×PD=

1

2

×4×(-

1

2

x+4)=-x+8(0＜x＜8)；

（3）存在點P，使PO=PA．理由如下：
假設(shè)存在這樣的點P，過P點作PD⊥x軸于D．
當PO=PA時，則OD=AD=

1

2

OA=2，
又點P是直線y=-

1

2

x+4在第一象限上的一點，
∴PD=-

1

2

×2+4=3．
∴在第一象限存在1個點P（2，3），使OP=AP．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，點的坐標與圖形的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．本題中根據(jù)點的坐標求出點與點的距離是解題的基礎(chǔ)．