Question

如圖，在正方形ABCD中，點P為BC邊上任意一點，以AP為邊作正方形APMN，F(xiàn)為正方形APMN的中心，連結BF，直接寫出BF與CP的數(shù)量關系

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：連接AC、AF、PF、BQ，過P作PQ⊥AC于Q，根據(jù)正方形的性質求出∠BFP=∠BQP，∠FBP=∠QPB，根據(jù)全等三角形的判定推出兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質求出BF=PQ，根據(jù)等腰直角三角形性質即可得出答案．

解答：解：
連接AC、AF、PF、BQ，過P作PQ⊥AC于Q，
∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)為正方形APMN的中心，
∴∠ACB=∠APF=45°，∠AFP=∠ABC=90°，
∴A、F、B、P四點共圓，
∴∠ABF=∠ABF=45°，∠BFP=∠BAP，
同理∠ABP=∠AQP=90°，
∴∠ABP+∠AQP=180°，
∴∠BAP=∠BQP，
∴∠BFP=∠PQB，
∵PQ⊥AC，
∴∠QPC=∠ACB=45°，
∴∠FBP=∠QPB=90°+45°=135°，
在△FBP和△QPB中，

∠BFP=∠PQB ∠FBP=∠QPB BP=BP

∴△FBP≌△QPB（AAS），
∴BF=PQ，
∵∠PQC=90°，∠ACB=∠QPC=45°，
∴PQ=

2

2

CP，
∴BF=

2

2

CP，
故答案為：BF=

2

2

CP．

點評：本題考查了正方形的性質，圓內接四邊形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，題目是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度．