Question

在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x+2與y軸交于點A，與x軸交于點C，現(xiàn)把線段AC繞著點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC，拋物線y=ax²-ax-2剛好經(jīng)過點B．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）平移該拋物線的對稱軸所在直線l，當(dāng)直線l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為1：2的兩部分？
（4）在拋物線上是否存在點P（點B除外），使△ACP是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先過點B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點B的坐標(biāo)；
（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的表達式；根據(jù)S_△CEF=

1

2

S_△ABC，列出方程求出直線l的解析式；
（3）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（4）分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，過點P₁作P₁M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，過點P₂作P₂N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，過點P₃作P₃H⊥y軸，去分析則可求得答案．

解答：解：（1）如圖1，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BCD=∠CAO ∠BDC=∠COA=90° BC=AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∵一次函數(shù)y=-2x+2與y軸交于點A，與x軸交于點C，
∴A點的坐標(biāo)為（0，2）C點的坐標(biāo)為（1，0），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點B的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=

5

．
∴S_△ABC=

1

2

AB²=

5

2

．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴

b=2 3k+b=1

，
解得k=-

1

3

，b=2，
∴y=-

1

3

x+2．
同理求得直線AC的解析式為：y=

1

2

x-

1

2

．
如答圖1所示，
設(shè)直線l與BC、AC分別交于點E、F，則EF=（-

1

3

x+2）-（

1

2

x-

1

2

）=

5

2

-

5

6

x．
△CEF中，EF邊上的高h=OD-x=3-x．
由題意得：S_△CEF=

1

2

S_△ABC，
即：

1

2

EF•h=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

（

5

2

-

5

6

x）•（3-x）=

1

2

×

5

2

，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-

3

或x=3+

3

（不合題意，舍去），
∴當(dāng)直線l解析式為x=3-

3

時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．

（3）∵拋物線y=ax²-ax-2過點B（3，1），
∴1=9a-3a-2，
解得：a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

1

2

x-2；

（4）假設(shè)存在點P，使得△ACP是等腰直角三角形，
①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，
則延長BC至點P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，過點P₁作P₁M⊥x軸，如圖（1），
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，
∴P₁（-1，-1），經(jīng)檢驗點P₁在拋物線y=

1

2

x²-

1

2

x-2上；
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，
得到等腰直角三角形ACP₂，過點P₂作P₂N⊥y軸，如圖（2），
同理可證△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（-2，1），經(jīng)檢驗P₂（-2，1）也在拋物線y=

1

2

x²-

1

2

x-2上；
③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，
得到等腰直角三角形ACP₃，過點P₃作P₃H⊥y軸，如圖（3），
同理可證△AP₃H≌△CAO，
∴HP₃=OA=2，AH=OC=1，
∴P₃（2，3），經(jīng)檢驗P₃（2，3）不在拋物線y=

1

2

x²-

1

2

x-2上；
故符合條件的點有P₁（-1，-1），P₂（-2，1）兩點．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性和強，難度較大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用的應(yīng)用．