37.(2009福建卷文)(本小題滿分14分)

已知直線經(jīng)過橢圓 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢

圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線，與直線

分別交于兩點(diǎn)。

　 (I)求橢圓的方程；

　 (Ⅱ)求線段MN的長度的最小值；

　 (Ⅲ)當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這

樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個數(shù)，若不存在，說明理由

解法一：

(I)由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為

　　　 故橢圓的方程為

(Ⅱ)直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而

由得0

設(shè)則得，從而 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

即又

由得

故

又 　　

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

時，線段的長度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，當(dāng)取最小值時，

　　 此時的方程為

　　 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。

設(shè)直線

則由解得或 　　

36.(2009四川卷理)(本小題滿分12分)

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。

本小題主要考查直線、橢圓、平面向量等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理運(yùn)算能力。

　解：(Ⅰ)有條件有，解得。 　　

　　　　　 。

　　　　　　 所以，所求橢圓的方程為�！�………………………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知、。

　若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-1.

　將x=-1代入橢圓方程得。21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

　不妨設(shè)、，

　.

　,與題設(shè)矛盾。

　直線l的斜率存在。

　設(shè)直線l的斜率為k，則直線的方程為y=k(x+1)。

設(shè)、，

聯(lián)立，消y得。

由根與系數(shù)的關(guān)系知，從而，

又，，

。

。

化簡得

解得 　　　

35.(2009天津卷理)(本小題滿分14分)

　　　 以知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。

(1)　　　 求橢圓的離心率； 　　

(2)　　　 求直線AB的斜率； 　　

(3)　　　 設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值 　　

本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分

(I)　　　　　　　　　　 解：由//且，得，從而

　 整理，得，故離心率 　　　

(II)　　　　　　　　 解：由(I)得，所以橢圓的方程可寫為

　 設(shè)直線AB的方程為，即. 　　　

　由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

消去y整理，得.

依題意，

而　　 　　　　　　�、�

　　　 　　　　�、� 　　

由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以

　　　 　　　　　　　　�、�

聯(lián)立①③解得， 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

將代入②中，解得.

(III)解法一：由(II)可知 　　　

當(dāng)時，得，由已知得.

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸

的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點(diǎn)H(m，n)的坐標(biāo)滿足方程組

　 ， 由解得故

當(dāng)時，同理可得. 　　　

解法二：由(II)可知

當(dāng)時，得,由已知得 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

由橢圓的對稱性可知B，，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H(m，n)在的外接圓上，

且，所以四邊形為等腰梯形.

　　　 由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.

因?yàn)?sub>，所以，解得m=c(舍)，或.

則，所以. 　　　

當(dāng)時同理可得　

33.(2009湖南卷理)(本小題滿分13分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F(3，0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和 　　　　　21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

　(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡C；

　(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長度的最大值。

　解(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則3︳x-2︳

由題設(shè)

當(dāng)x>2時，由①得

　 化簡得　 　21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

當(dāng)時　 由①得

　 化簡得　　　　　　　　　　　　

故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點(diǎn))所組成的曲線，參見圖1

(Ⅱ)如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A(2，)，

B(2，)，直線AF，BF的斜率分別為=，=.

當(dāng)點(diǎn)P在上時，由②知

.　　　　　　　　 ④21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

當(dāng)點(diǎn)P在上時，由③知 　　　　　

　　　　　　　　　 ⑤

若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為

(i)當(dāng)k≤，或k≥，即k≤-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點(diǎn)M(，)，N(，)都在C 上，此時由④知

∣MF∣= 6 - 　　∣NF∣= 6 - 　　　　　　

從而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)

由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*∣MN∣=12 - (+)=12 -

因?yàn)楫?dāng)

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。

(2)當(dāng)時，直線L與軌跡C的兩個交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則④⑤知，

　 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E

　 所以。而點(diǎn)A，E都在上，且

　 有(1)知 　　　　　　

若直線的斜率不存在，則==3，此時

綜上所述，線段MN長度的最大值為

32.(2009寧夏海南卷文)(本小題滿分12分)

已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個項點(diǎn)到兩個

焦點(diǎn)的距離分別是7和1

(I)　　　　　　　　　　 求橢圓的方程‘

(II)　　　　　　　　 若為橢圓的動點(diǎn)，為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，

(e為橢圓C的離心率)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

(20)解：

(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及分別為a,c,由已知得 　　　　　

{　 解得a=4,c=3, 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

所以橢圓C的方程為 　　　　　　

(Ⅱ)設(shè)M(x,y),P(x,),其中由已知得

而，故　　　　　 　①

由點(diǎn)P在橢圓C上得　　　　 　　　　　　

代入①式并化簡得

所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段. 　　　　　　

31.(2009湖北卷文)(本小題滿分13分)

如圖，過拋物線y²＝2PX(P>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線L作垂線，垂足分別為M₁、N₁

(Ⅰ)求證：FM₁⊥FN₁:

(Ⅱ)記△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面積分別為S^{1、、}S^{2、，}S³，試判斷S²₂＝4S₁S₃是否成立，并證明你的結(jié)論。 　　

本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力(滿分13分)

(1)　　　 證法1：由拋物線的定義得

　　　　　　　 2分

如圖，設(shè)準(zhǔn)線l與x的交點(diǎn)為

　21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

而

即

故

證法2：依題意，焦點(diǎn)為準(zhǔn)線l的方程為

設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為直線MN的方程為，則有

由　 得

于是，，

，故

(Ⅱ)成立，證明如下：

證法1：設(shè)，則由拋物線的定義得

，于是

　21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

將與代入上式化簡可得 　　

，此式恒成立。

故成立。

證法2：如圖，設(shè)直線M的傾角為，

則由拋物線的定義得

于是

在和中，由余弦定理可得

由(I)的結(jié)論，得

即，得證。

30.(2009全國卷Ⅰ文)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

　 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點(diǎn)。

(Ⅰ)求r的取值范圍

(Ⅱ)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：(Ⅰ)將拋物線代入圓的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．(1)

拋物線與圓相交于、、、四個點(diǎn)的充要條件是：方程(1)有兩個不相等的正根

∴即。解這個方程組得

.

(II)　 設(shè)四個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、。

則由(I)根據(jù)韋達(dá)定理有，

則

令，則　　 下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

　　 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時滿足題意。

法2：設(shè)四個交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、

則直線AC、BD的方程分別為

解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為。

設(shè)，由及(Ⅰ)得 　　

由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積

則將，代入上式，并令，等

，

∴，

令得，或(舍去)

當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，

故當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為。 　

　　　 (Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為由題意知 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

　　　 由{ 得A點(diǎn)的坐標(biāo)為

　　　 由{ 得B點(diǎn)的坐標(biāo)為

　　　 由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為　

　　　 將P點(diǎn)坐標(biāo)代入

設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m).

　　 = 　　

以下同解答一.

29.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，右準(zhǔn)線方程為。

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程。

[解析](I)由已知得，解得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴

∴ 所求橢圓的方程為　　　　　 …………………………………4分

(II)由(I)得、

①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得

設(shè)、，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴ ，這與已知相矛盾。

②若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，

設(shè)、，

聯(lián)立，消元得

∴　 ，21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

∴　 ，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又∵

∴　

∴　

化簡得

解得

∴　

∴　 所求直線的方程為　　 …………………………………12分

∴

由 得 ∴雙曲線C的方程為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知雙曲線C的兩條漸近線方程為

設(shè) 　　

由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入化簡得

設(shè)∠AOB

又

記

由

當(dāng)時，△AOB的面積取得最小值2，當(dāng)時，△AOB的面積取得最大值∴△AOB面積的取值范圍是

28．(本小題滿分14分)

已知雙曲線C的方程為 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

離心率頂點(diǎn)到漸近線的距離為

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一，二象限.若求△AOB面積的取值范圍.