4.注意代換后參數的等價性
例8已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值、最小值
解:設t=sinθ-cosθ=sin(θ-)
∴2sinθcosθ=1-t2
∴y=-t2+t+1=-(t-)2+
又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π
∴-≤θ-≤
∴-1≤t≤
當t=時,ymax=
當t=-1時,ymin=-1
說明:此題在代換中,據θ范圍,確定了參數t∈[-1,],從而正確求解,若忽視這一點,會發(fā)生t=時有最大值而無最小值的結論
3.注意題中字母(參數)的討論
例7求函數y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值
解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-
∴當0≤a≤2時,cosx=,ymax=+a-
當a>2時,cosx=1,ymax=a-
當a<0時,cosx=0,ymax=a-
說明:解此題注意到參數a的變化情形,并就其變化討論求解,否則認為cosx=時,y有最大值會產生誤解
2.注意條件中角的范圍
例6已知|x|≤,求函數y=cos2x+sinx的最小值
解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+
∵-≤x≤
∴-≤sinx≤
∴當sinx=-時
ymin=-(--)2+=
說明:解此題注意了條件|x|≤,使本題正確求解,否則認為sinx=-1時y有最小值,產生誤解
三角函數最值問題是三角函數性質的重要內容之一,也是會考、高考必考內容,在求解中欲達到準確、迅速,除熟練掌握三角公式外,還應注意以下幾點:
1.注意sinx、cosx自身的范圍
例5求函數y=cos2x-3sinx的最大值
解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+
∵-1≤sinx≤1,
∴當sinx=-1時,ymax=3
說明:解此題易忽視sinx∈[-1,1]這一范圍,認為sinx=-時,y有最大值,造成誤解
利用變量代換,我們可把三角函數最值問題化成代數函數最值問題求解
例4求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值
解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x=1+2sinxcosx-sin2xcos2x
令t=sin2x
∴-≤t≤ ①
f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ②
在①的范圍內求②的最值
當t=,即x=kπ+(k∈Z)時,f(x)max=
當t=-,即x=kπ+(k∈Z)時,f(x)min=-
如果f(x)在[α,β]上是增函數,則f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是減函數,則f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β)
例3 在0≤x≤條件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值
解:利用二倍角余弦公式的變形公式,有
y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1
=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1
=2cos(2x+)-1
∵0≤x≤,≤2x+≤
cos(2x+)在[0,)上是減函數
故當x=0時有最大值
當x=時有最小值-1
cos(2x+)在[,]上是增函數
故當x=時,有最小值-1
當x=時,有最大值-
綜上所述,當x=0時,ymax=1
當x=時,ymin=-2-1
利用三角函數的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1來求三角函數的最值
例2 a、b是不相等的正數
求y=的最大值和最小值
解:y是正值,故使y2達到最大(或最小)的x值也使y達到最大(或最小)
y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x
=a+b+
∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1
∴當sin2x=±1時,即x=(k∈Z)時,y有最大值;
當sinx=0時,即x= (k∈Z)時,y有最小值+
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