0  438104  438112  438118  438122  438128  438130  438134  438140  438142  438148  438154  438158  438160  438164  438170  438172  438178  438182  438184  438188  438190  438194  438196  438198  438199  438200  438202  438203  438204  438206  438208  438212  438214  438218  438220  438224  438230  438232  438238  438242  438244  438248  438254  438260  438262  438268  438272  438274  438280  438284  438290  438298  447090 

4.注意代換后參數的等價性

例8已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θπ),求y的最大值、最小值

解:設t=sinθ-cosθsin(θ)

∴2sinθcosθ=1-t2

y=-t2+t+1=-(t)2+

又∵tsin(θ),0≤θπ

∴-θ

∴-1≤t

t時,ymax

t=-1時,ymin=-1

說明:此題在代換中,據θ范圍,確定了參數t∈[-1,],從而正確求解,若忽視這一點,會發(fā)生t時有最大值而無最小值的結論

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3.注意題中字母(參數)的討論

例7求函數y=sin2x+acosx+a(0≤x)的最大值

解:∵y=1-cos2x+acosx+a=-(cosx)2++a

∴當0≤a≤2時,cosx,ymax+a

a>2時,cosx=1,ymaxa

a<0時,cosx=0,ymaxa

說明:解此題注意到參數a的變化情形,并就其變化討論求解,否則認為cosx時,y有最大值會產生誤解

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2.注意條件中角的范圍

例6已知|x|≤,求函數y=cos2x+sinx的最小值

解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx)2+

∵-x

∴-≤sinx

∴當sinx=-

ymin=-(-)2+

說明:解此題注意了條件|x|≤,使本題正確求解,否則認為sinx=-1時y有最小值,產生誤解

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三角函數最值問題是三角函數性質的重要內容之一,也是會考、高考必考內容,在求解中欲達到準確、迅速,除熟練掌握三角公式外,還應注意以下幾點:

1.注意sinx、cosx自身的范圍

例5求函數y=cos2x-3sinx的最大值

解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+

∵-1≤sinx≤1,

∴當sinx=-1時,ymax=3

說明:解此題易忽視sinx∈[-1,1]這一范圍,認為sinx=-時,y有最大值,造成誤解

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利用變量代換,我們可把三角函數最值問題化成代數函數最值問題求解

例4求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值

解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x=1+2sinxcosx-sin2xcos2x

tsin2x

∴-t            ①

f(t)=1+2tt2=-(t-1)2+2   ②

在①的范圍內求②的最值

t,即x+(k∈Z)時,f(x)max

t=-,即x+(k∈Z)時,f(x)min=-

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如果f(x)在[αβ]上是增函數,則f(x)在[αβ]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是減函數,則f(x)在[αβ]上有最大值f(α),最小值f(β)

例3 在0≤x條件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值

解:利用二倍角余弦公式的變形公式,有

y-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1

=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1

=2cos(2x+)-1

∵0≤x,≤2x+

cos(2x+)在[0,)上是減函數

故當x=0時有最大值

x時有最小值-1

cos(2x+)在[]上是增函數

故當x時,有最小值-1

x時,有最大值-

綜上所述,當x=0時,ymax=1

x時,ymin=-2-1

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利用三角函數的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1來求三角函數的最值

例2  a、b是不相等的正數

y的最大值和最小值

解:y是正值,故使y2達到最大(或最小)的x值也使y達到最大(或最小)

y2acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x

a+b+

ab,(ab)2>0,0≤sin22x≤1

∴當sin2x=±1時,即x(k∈Z)時,y有最大值;

當sinx=0時,即x (k∈Z)時,y有最小值+

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