15.(09年山東卷) 20世紀30年代初，蘇聯(lián)領(lǐng)導(dǎo)人曾在一次演講時強調(diào)：“已經(jīng)是布爾什維克自己成為專家的時候了……技術(shù)決定一切”這主要是著眼于(　 )

A. 推行戰(zhàn)時共產(chǎn)主義政策　　　　　　　 B. 實施新經(jīng)濟政策

C. 發(fā)展農(nóng)業(yè)集體經(jīng)濟　　　　　　　　　 D. 進行工業(yè)化建設(shè)

[答案]D

4．人造衛(wèi)星(只討論繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星)

和星球表面上的物體不同，人造衛(wèi)星所受的萬有引力只有一個作用效果，就是使它繞星球做勻速圓周運動，因此萬有引力等于向心力。又由于我們定義重力是由于地球的吸引而使物體受到的力，因此可以認為對衛(wèi)星而言，

(1)人造衛(wèi)星的線速度和周期。人造衛(wèi)星的向心力是由地球?qū)λ�的萬有引力提供的，因此有： ，由此可得到兩個重要的結(jié)論：和�？梢钥闯�，人造衛(wèi)星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應(yīng)的，其中一個量確定后，另外兩個量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛(wèi)星，線速度越小而周期越大。

(2)近地衛(wèi)星。近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，又因為地面附近，所以有，。它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。

(3)同步衛(wèi)星。“同步”的含義就是和地球保持相對靜止(又叫靜止軌道衛(wèi)星)，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，既T=24h，根據(jù)(1)可知其軌道半徑是唯一確定的，經(jīng)過計算可求得同步衛(wèi)星離地面的高度為h=3.6×10⁷m≈5.6R_地(三萬六千千米)，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)方向必須是由西向東。

在軌道上，向心力等于引力。衛(wèi)星的線速度隨軌道半徑的增大而減小。(動能雖然小了，勢能卻增大了，所以衛(wèi)星在較高的軌道上運行需要有更大的機械能。)

[例13]“神舟三號”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要多次進行“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預(yù)定軌道上穩(wěn)定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是

A．動能、重力勢能和機械能都逐漸減小

B．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變

C．重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變

D．重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小

解：由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功，根據(jù)機械能定理，衛(wèi)星的機械能減��；由于重力做正功，根據(jù)勢能定理，衛(wèi)星的重力勢能減�。挥�可知，衛(wèi)星動能將增大。這也說明該過程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正。答案選D。

[例14]如圖所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一種程序是：先讓衛(wèi)星進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步圓軌道上的Q)，到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v₁，在P點短時間加速后的速率為v₂，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v₃，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v₄。試比較v₁、v₂、v₃、v₄的大小，并用小于號將它們排列起來______。

解：根據(jù)題意在P、Q兩點點火加速過程中，衛(wèi)星速度將增大，所以有v₁<v₂、v₃<v₄，而v₁、v₄是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的線速度，它們對應(yīng)的軌道半徑r₁<r₄，所以v₄<v₁。把以上不等式連接起來，可得到結(jié)論：v₃<v₄<v₁<v₂。(衛(wèi)星沿橢圓軌道由P→Q運行時，由于只有重力做負功，衛(wèi)星機械能守恒，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v₃<v₂。)

[例15]歐洲航天局用阿里亞娜火箭發(fā)射地球同步衛(wèi)星。該衛(wèi)星發(fā)射前在赤道附近(北緯5°左右)南美洲的法屬圭亞那的庫盧基地某個發(fā)射場上等待發(fā)射時為1狀態(tài)，發(fā)射到近地軌道上做勻速圓周運動時為2狀態(tài)，最后通過轉(zhuǎn)移、調(diào)試，定點在地球同步軌道上時為3狀態(tài)。將下列物理量按從小到大的順序用不等號排列：①這三個狀態(tài)下衛(wèi)星的線速度大小______；②向心加速度大小______；③周期大小______。

解：①比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r₂<r₃，所以v₃<v₂；比較1、3狀態(tài)，周期相同，即角速度相同，而r₁<r₃由v=rω，顯然有v₁<v₃；因此v₁<v₃<v₂。②比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r₂<r₃，而向心加速度就是衛(wèi)星所在位置處的重力加速度g=GM/r²∝1/r²，所以a₃<a₂；比較1、3狀態(tài)，角速度相同，而r₁<r₃，由a=rω²∝r，有a₁<a₃；所以a₁<a₃<a₂。③比較1、2狀態(tài)，可以認為它們軌道的周長相同，而v₁<v₂，所以T₂<T₁；又由于3狀態(tài)衛(wèi)星在同步軌道，周期也是24h，所以T₃=T₁，因此有T₂<T₁=T₃。

[例16]如圖所示，用細繩一端系著的質(zhì)量為M=0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上，細繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m=0.3kg的小球B，A的重心到O點的距離為0.2m。若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為f=2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取值范圍。(取g=10m/s²)

分析與解：要使B靜止，A必須相對于轉(zhuǎn)盤靜止--具有與轉(zhuǎn)盤相同的角速度．A需要的向心力由繩拉力和靜摩擦力合成。角速度取最大值時，A有離心趨勢，靜摩擦力指向圓心O；角速度取最小值時，A有向心運動的趨勢，靜摩擦力背離圓心O。

對于B，T=mg

對于A，

解得；；故2.9rAd/s≤ω≤6.5rAd/s。

[例17]質(zhì)量為m的小球，由長為l的細線系住，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=，過E做水平線EF，在EF上釘一鐵釘D，如圖所示。若線能承受的最大拉力是9mg，現(xiàn)將懸線拉至水平，然后由靜止釋放，若小球能繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運動，求釘子位置在水平線上的取值范圍。不計線與釘碰撞時的能量損失。

分析與解：設(shè)ED=x，則細線碰到釘子后，做圓周運動的半徑。此半徑必須滿足兩個臨界條件：

小球通過該圓的最低點時，細線拉力F≤9mg　　　　　　　　 (1)

小球通過該圓的最高點時，小球的速度　　　　　　 (2)

根據(jù)機械能守恒定律，　　　　　　　 　　(3)

　　　　　　　　　 (4)

由牛頓運動定律，　　　　　　　　　　　　 (5)

聯(lián)立(1)(3)(5)得，即，所以；

聯(lián)立(2)(4)得，即，所以；

故x的取值范圍是。

3．萬有引力和重力的關(guān)系

一般的星球都在不停地自轉(zhuǎn)，星球表面的物體隨星球自轉(zhuǎn)需要向心力，因此星球表面上的物體所受的萬有引力有兩個作用效果：一個是重力，一個是向心力。如圖所示，星球表面的物體所受的萬有引力的一個分力是重力，另一個分力是使該物體隨星球自轉(zhuǎn)所需的向心力。即

地球表面的物體所受到的向心力f的大小不超過重力的0.35%，因此在計算中可以認為萬有引力和重力大小相等。如果有些星球的自轉(zhuǎn)角速度非常大，那么萬有引力的向心力分力就會很大，重力就相應(yīng)減小，就不能再認為重力等于萬有引力了。如果星球自轉(zhuǎn)速度相當(dāng)大，使得在它赤道上的物體所受的萬有引力恰好等于該物體隨星球自轉(zhuǎn)所需要的向心力，那么這個星球就處于自行崩潰的臨界狀態(tài)了(2003年高考有關(guān)中子星問題就是這種情況)。

[例11]中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大。現(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T＝1/30s。向該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計等時星體可視為均勻球體。(引力常數(shù)G＝6.67×10^－11m³/kg·s²)

解答：考慮中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時，中子星才不會瓦解。

設(shè)中子星的密度為ρ，質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω，位于赤道處的小塊物質(zhì)質(zhì)量為m，則有

GMm/R²＝mω²R

ω＝2π/T

M＝4/3πρR³

由以上各式得ρ＝3π/GT²

代人數(shù)據(jù)解得ρ＝1.27×10¹⁴kg/m³

[例12]某行星自轉(zhuǎn)周期是6小時。在該行星赤道上稱得某物體的重力是同一物體在兩極稱得的重力的90%，求該行星的平均密度。

解：由已知，該星球赤道上物體所受的向心力是萬有引力的10%，，而星球質(zhì)量，由以上兩式可得ρ=3.03×10³kg/m³

2．雙星

宇宙中往往會有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。這種結(jié)構(gòu)叫做雙星。

(1)由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此周期也必然相同。

(2)由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω²可得，可得，，即固定點離質(zhì)量大的星較近。

(3)列式時須注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是L，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r₁、r₂，千萬不可混淆。

當(dāng)我們只研究地球和太陽系統(tǒng)或地球和月亮系統(tǒng)時(其他星體對它們的萬有引力相比而言都可以忽略不計)，其實也是一個雙星系統(tǒng)，只是中心星球的質(zhì)量遠大于環(huán)繞星球的質(zhì)量，因此固定點幾乎就在中心星球的球心。可以認為它是固定不動的。

萬有引力定律的內(nèi)容：任何兩個物體之間都存在相互吸引的力。引力的大小跟兩個物體質(zhì)量的乘積成正比，跟它們之間距離的二次方成反比。

公式：，只適用于質(zhì)點或質(zhì)量分布均勻的球體，式中r是質(zhì)點間或球心間的距離．

基本問題是研究星體(包括人造星體)在萬有引力作用下做勻速圓周運動。

1．用萬有引力定律求中心星球的質(zhì)量和密度

當(dāng)一個星球繞另一個星球做勻速圓周運動時，設(shè)中心星球質(zhì)量為M，半徑為R，環(huán)繞星球質(zhì)量為m，線速度為v，公轉(zhuǎn)周期為T，兩星球相距r，由萬有引力定律有：，可得出。

由r、v或r、T就可以求出中心星球的質(zhì)量；如果環(huán)繞星球離中心星球表面很近，即滿足r≈R，那么由可以求出中心星球的平均密度。

3．豎直面內(nèi)圓周運動最高點處的受力特點及分類

這類問題的特點是：由于機械能守恒，物體做圓周運動的速率時刻在改變，物體在最高點處的速率最小，在最低點處的速率最大。物體在最低點處向心力向上，而重力向下，所以彈力必然向上且大于重力；而在最高點處，向心力向下，重力也向下，所以彈力的方向就不能確定了，要分三種情況進行討論。

(1)彈力只可能向下，如繩拉球。

這種情況下有，即，否則不能通過最高點。

(2)彈力只可能向上，如車過橋。

在這種情況下有：，即，否則車將離開橋面，做平拋運動。

(3)彈力既可能向上又可能向下，如管內(nèi)轉(zhuǎn)(或桿連球、環(huán)穿珠)。

這種情況下，速度大小v可以取任意值。但可以進一步討論：①當(dāng)時物體受到的彈力必然是向下的；當(dāng)時物體受到的彈力必然是向上的；當(dāng)時物體受到的彈力恰好為零。②當(dāng)彈力大小F<mg時，向心力有兩解：mg±F；當(dāng)彈力大小F>mg時，向心力只有一解：F+mg；當(dāng)彈力F=mg時，向心力等于零或2mg。

[例10]如圖所示，桿長為L，球的質(zhì)量為m，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動，已知在最高點處，桿對球的彈力大小為，求這時小球的瞬時速度大小。

解：小球所需向心力向下，本題中＜mg，所以彈力的方向可能向上也可能向下。

(1)若F向上，則，即：。

(2)若F向下，則，即：。

本題是桿連球繞軸自由轉(zhuǎn)動，根據(jù)機械能守恒，還能求出小球在最低點的即時速度。

需要注意的是：若題目中說明小球在桿的帶動下在豎直面內(nèi)做勻速圓周運動，則運動過程中小球的機械能不再守恒，這兩類題務(wù)必分清。

2．描述勻速圓周運動的物理量

物理量有：線速度v、角速度ω、周期T、頻率f、轉(zhuǎn)速n、向心加速度a等等。

，，，，，關(guān)系是：，

適用于勻速圓周運動和非勻速圓周運動的公式有：；；

只適用于勻速圓周運動的公式有：；

小結(jié)：前三個公式是用瞬時量線速度v和角速度ω表示的，因而是普遍適用的。周期T和轉(zhuǎn)速n不是瞬時量，后兩個公式只適用于勻速圓周運動。

凡是直接用皮帶傳動(包括鏈條傳動、摩擦傳動)的兩個輪子，兩輪邊緣上各點的線速度大小相等；凡是同一個輪軸上(各個輪都繞同一根軸同步轉(zhuǎn)動)的各點角速度相等(軸上的點除外)。

[例8]如圖所示裝置中，三個輪的半徑分別為r、2r、4r，b點到圓心的距離為r，求圖中A、b、c、d各點的線速度之比、角速度之比、加速度之比。

解：v_a= v_C，而v_b∶v_C∶v_d =1∶2∶4，所以v_a∶ v_b∶v_C∶v_d =2∶1∶2∶4；ω_a∶ω_b=2∶1，而ω_b=ω_C=ω_d ，所以ω_a∶ω_b∶ω_C∶ω_d =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得a_a∶a_b∶a_c∶a_d=4∶1∶2∶4

[例9]如圖所示，一種向自行車車燈供電的小發(fā)電機的上端有一半徑r₀=1.0cm的摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊緣接觸。當(dāng)車輪轉(zhuǎn)動時，因摩擦而帶動小輪轉(zhuǎn)動，從而為發(fā)電機提供動力。自行車車輪的半徑R₁=35cm，小齒輪的半徑R₂=4.0cm，大齒輪的半徑R₃=10.0cm。求大齒輪的轉(zhuǎn)速n₁和摩擦小輪的轉(zhuǎn)速n₂之比。(假定摩擦小輪與自行車輪之間無相對滑動)

解：大小齒輪間、摩擦小輪和車輪之間和皮帶傳動原理相同，兩輪邊緣各點的線速度大小相等，由v=2πnr可知轉(zhuǎn)速n和半徑r成反比；小齒輪和車輪間和輪軸的原理相同，兩輪上各點的轉(zhuǎn)速相同。由這三次傳動可以找出大齒輪和摩擦小輪間的轉(zhuǎn)速之比n₁∶n₂=2∶175

1．勻速圓周運動的特點

勻速圓周運動是變速運動(v方向時刻在變)，而且是變加速運動(a方向時刻在變)。

3．圓錐擺

圓錐擺是運動軌跡在水平面內(nèi)的一種典型的勻速圓周運動。其特點是由物體所受的重力與彈力的合力充當(dāng)向心力，向心力的方向水平。也可以說是其中彈力的水平分力提供向心力(彈力的豎直分力和重力互為平衡力)。

[例7]小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，試分析圖中的θ(小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角)與線速度v、周期T的關(guān)系。(小球的半徑遠小于R。)

解：小球做勻速圓周運動的圓心在和小球等高的水平面上(不在半球的球心)，向心力F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖所示有：

，由此可得：

(h為小球軌道平面到球心的高度)可見，θ越大(即軌跡所在平面越高)，v越大，T越小。

本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。

2．一般地說，當(dāng)做圓周運動物體所受的合力不指向圓心時，可以將它沿半徑方向和切線方向正交分解，其沿半徑方向的分力為向心力，只改變速度的方向，不改變速度的大��；其沿切線方向的分力為切向力，只改變速度的大小，不改變速度的方向。分別與它們相應(yīng)的向心加速度描述速度方向變化的快慢，切向加速度描述速度大小變化的快慢。

做圓周運動物體所受的向心力和向心加速度的關(guān)系同樣遵從牛頓第二定律：F_n=ma_n在列方程時，根據(jù)物體的受力分析，在方程左邊寫出外界給物體提供的合外力，右邊寫出物體需要的向心力(可選用等各種形式)。

如果沿半徑方向的合外力大于做圓周運動所需的向心力，物體將做向心運動，半徑將減��；如果沿半徑方向的合外力小于做圓周運動所需的向心力，物體將做離心運動，半徑將增大。