分段函數(shù)的反函數(shù)的求法及含有字母的函數(shù)的問題

2． 已知函數(shù)=1+有反函數(shù)，且點(diǎn)(a,b)在函數(shù)的圖象上，又在其反函數(shù)的圖象上，求a,b的值.

解：∵點(diǎn)(a,b)在函數(shù)的圖象上，∴b=1+---①,

又點(diǎn)(a,b)在其反函數(shù)的圖象上，

∴點(diǎn)(b,a)在原函數(shù)的圖象上，

∴有a=1+---②，聯(lián)立①②解得a=b=2.

1．求函數(shù)y=的反函數(shù).

解：當(dāng)x≥0時(shí)，y≥1，由y=x2+1得x= ( y≥1)；當(dāng)x<0時(shí)，y<1，由y=x+1得x=y-1(y<1). 將x,y對換得y==.

說明：求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)分別求出各段的反函數(shù)，再合成.

的值域而得反函數(shù)的定義域，這一點(diǎn)絕不能混淆.

例1 求函數(shù)y=(x≥0，x≠1)的反函數(shù).

解：⑴由原函數(shù)變形為y-y=1+，即=(y-1)/(y+1)--①,

∵≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y<-1或y≥1,

⑵由①兩邊平方得x=[(y-1)/(y+1)],

⑶∴原函數(shù)的反函數(shù)是= [(x-1)/(x+1)](x<-1或x≥1)；

說明：原函數(shù)的值域是借助于變形中的①式：≥0而得到的，對于一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，求它的值域時(shí)要注意題目中的現(xiàn)有條件.

例2 設(shè)函數(shù)y==，求它的反函數(shù).

分析：這里給出了分段函數(shù)，即在不同的x范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，因此，也應(yīng)在不同的x范圍內(nèi)求其反函數(shù).

解：⑴當(dāng)x<0時(shí)，y=x,其反函數(shù)仍是y=x(x<0);

⑵當(dāng)x≥0時(shí)，y=，由y= (x≥0)得x=,又y= (x≥0)的值域?yàn)閥≥0，∴y= (x≥0)的反函數(shù)是y=(x≥0).

⑶由⑴⑵可得=.

例3 已知函數(shù)的反函數(shù)是(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值.

解：⑴由(x≠2)解出x=，

∵原函數(shù)的值域是y≠3,

∴(x≠2)的反函數(shù)是(x≠3,x∈R).

⑵由互為反函數(shù)的函數(shù)關(guān)系知，與是同一函數(shù)，∴a=2,b=1,c=-3.

例4 若點(diǎn)A(1,2)既在函數(shù)=的圖象上，又在的反函數(shù)的圖象上，求a,b的值.

分析：求a,b，就要有兩個(gè)關(guān)于a,b的方程，如何尋求？

①A(1,2)在圖象上，這是很容易看出來的.

②如何用它也在的反函數(shù)的圖象上呢？

其一，真求反函數(shù)，再把A(1,2)代入. 能不能不求反函數(shù)？

其二，A(1,2)在反函數(shù)圖象上，則(2,1)就應(yīng)在原函數(shù)的圖象上，即(a,b)滿足y=，則(b,a)應(yīng)滿足y=，反之亦然.

解：由A(1,2)在=上，則有--①；

由A(1,2)在其反函數(shù)圖象上，可知(2,1)也在函數(shù)=圖象上，∴又有--②，

解聯(lián)立①②的方程組得a=-3,b=7.

例5．若，試求反函數(shù)．

分析：當(dāng)已知函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)時(shí)，要求它的反函數(shù)，首先要求原來函數(shù)解析表達(dá)式．

解：令，則，，

代入所給表達(dá)式，得+2=，

，∴，即原來函數(shù)是．

易求函數(shù)的反函數(shù)是

．

注：在利用換元解題時(shí)，一定要注意新元(中間變量)的取值范圍．

2．函數(shù)、、、間的關(guān)系：

與、與互為反函數(shù)；

與、與為同一函數(shù)

1．反函數(shù)的定義；求反函數(shù)的一般步驟分：一解、二換、三注明

互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有什么關(guān)系：

函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.

反函數(shù)的定義域由原函數(shù)的值域得到，而不能由反函數(shù)的解析式得到

29.下圖所示為世界地圖上的一段經(jīng)線。MP、QN為陸地，PQ為海洋。(12分)

(1) 該剖面MN的水平距離約是：　　　　　　　 　　　　　　(　　 )(2分)

A．2000千米 B．2500千米 C．2775千米 D．3000千米

(2) 該剖面MN段自北向南依次經(jīng)過的大陸、海洋是：

MP為___________大陸；PQ為____________海洋；QN為_____________大陸。(3分)

(3)當(dāng)Q地為雨季時(shí)，下列地區(qū)同為雨季的是：　　　　　　　　 (　　)(2分)

A．北京 　　　 B．開普敦　　　 　　　 C．舊金山　　　 　　 　 D．孟買

(4) N地所在大洲的地形特點(diǎn)和氣候特點(diǎn)分別是：(5分)

地形特點(diǎn)是

氣候特點(diǎn)是

28.讀右圖，回答下列問題：(13分)

⑴A圖所示國家的主要?dú)夂蝾愋褪莀___________。(1分)

⑵B圖所示國家的主要?dú)夂蝾愋桶��?按自上而下順序)______________、_______________和______________，其中該國緯度400-600沿海地區(qū)的氣候主要分布在西部沿海狹長地帶，原因是

____　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 _____　 。(5分)

　 ⑶A圖、B圖所示都是狹長型的臨海國家，導(dǎo)致兩國氣候差異的主要因素有：(3分)

⑷當(dāng)P1地盛行西南風(fēng)時(shí)，P2地的氣候特點(diǎn)是　　　　　　　　　　 ，流經(jīng)P2地的主要洋流是____________________。(4分)

26、下圖中的甲、乙兩國都是太平洋的島國，甲國面積約38萬平方千米，乙國面積約27萬平方千米，回答下列問題。(14分)

⑴圖中甲、乙兩國，比例尺較大的是　　　　　 。(2分)

⑵請比較圖中甲、乙兩國年降水量分布特點(diǎn)及其形成原因。(6分)

⑶甲國的工業(yè)主要分布在太平洋沿岸的狹長地帶，請分析其主要原因。(3分)

⑷乙國農(nóng)業(yè)地域類型主要為大牧場放牧業(yè)，請分析其優(yōu)勢區(qū)位條件。(3分)