[探索題](2005全國Ⅲ)甲、乙兩隊進行一場排球比賽.根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為0.6，本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結束.設各局比賽相互間沒有影響.令ξ為本場比賽的局數(shù).求ξ的概率分布和數(shù)學期望.(精確到0.0001).

解:比賽1局甲隊勝的概率是0.6,乙隊勝的概率是0.4,

比賽3局結束有兩種情況,甲勝3局或乙勝3局.P(ξ=3)=0.6³+0.4³=0.28

比賽4局結束有兩種情況,前3局中甲隊勝2局,乙隊勝1局,第四局甲隊勝,或前3局乙隊勝2局,第四局乙隊勝.P(ξ=4)=C₃²0.6²0.4·0.6+C₃²0.4²·0.6·0.4=0.3744

比賽5局結束有兩種情況,前4局甲隊勝2局,乙隊勝兩局,第五局甲隊勝,或乙隊勝.

P(ξ=5)=0.3456,分布列為

期望:Eξ=4.0656.

10. (2005湖北)某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年內(nèi)領到駕照的概率.

解：ξ的取值分別為1，2，3，4.

ξ=1，表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(ξ=1)=0.6.

ξ=2，表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故

　 P(ξ=2)=(1-0.6)×0.7=0.28

ξ=3，表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，故

P(ξ=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096

ξ=4，表明李明第一、二、三次考試都未通過，故

P(ξ=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024

∴李明實際參加考試次數(shù)ξ的分布列為

∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

李明在一年內(nèi)領到駕照的概率為

9．(2006全國Ⅰ)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗　 每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效　 若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組　 設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.　

(Ⅰ)求一個試驗組為甲類組的概率；

(Ⅱ)觀察3個試驗組，用ξ表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望.

解：(Ⅰ)設A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2， B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2，依題意有

所求的概率為

(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,) 　

　P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=,

P(ξ=2)=C₃²×()²× = 　 , P(ξ=3)=( )³=

ξ的分布列為:

數(shù)學期望: Eξ=3× = 　

8．(2006江西)某商場舉行抽獎促銷活動,抽獎規(guī)則是:從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次.令ξ表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額,求

(1) ξ的分布列;　　 　 (2) ξ的數(shù)學期望.

.解: (1) ζ的所有可能的取值為0,10,20,50,60.

(元)

7.甲、乙乙兩名射手在一次射擊中，得分為兩個獨立的隨機變量ξ和η，其分布列為

求(1)a,b的值；

(2)計算ξ、η的期望與方差，并據(jù)此分析甲、乙的技術狀況。

解：(1)由a+0.1+0.6=1得a=0.7. 同理b=0.1

　(2)Eξ=2.3,　 Eη=2.0 ,　 Eξ>Eη

Dξ=0.81,　 Dη=0.6.　　 Dξ>Dη

說明射擊中甲的平均得分高于乙，但穩(wěn)定性不如乙。

6.得分情況：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分.

故P(ξ=5)==，P(ξ=6)==，P(ξ=7)==，

P(ξ=8)==，Eξ=5×+6×+7×+8×==.

[解答題]

5.設甲答對題數(shù)為ξ，成績?yōu)?i>η，則ξ-B(50，0.8)，η=2ξ，成績的期望為Eη=E(2ξ)=2Eξ=2×50×0.8=80(分)；

成績的標準差為ση====2=4≈5.7(分)

4.Dξ=npq≤n()²=，當p=q=時等號成立，Dξ=25，σξ=5.答案：, 5.

6.袋中有4個紅球，3個黑球，今從袋中隨機取出4個球.設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，則得分ξ的取值為_____________,ξ數(shù)學期望等于__________.

◆練習簡答：1-3.CAC;

5.一次單元測試由50個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中恰有1個是正確答案.每題選擇正確得2分，不選或錯選得0分，滿分是100分.學生甲選對任一題的概率為0.8，求他在這次測試中成績的期望和標準差.