24. (2009遼寧卷文)等比數(shù)列{}的前n 項(xiàng)和為，已知,,成等差數(shù)列

(1)求{}的公比q；

(2)求－＝3，求　　 　　　　

解：(Ⅰ)依題意有　 　　　　

　由于 ，故

　 又，從而　　　　　　　　　　　 5分

　(Ⅱ)由已知可得

　 故

　 從而　　　　　　 　10分

23. (2009全國(guó)卷Ⅱ理)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 已知

(I)設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列　　　

(II)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：(I)由及，有

由，．．．① 　則當(dāng)時(shí)，有．．．．．②

②－①得

又，是首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．

(II)由(I)可得，

數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等比數(shù)列．

，

評(píng)析：第(I)問(wèn)思路明確，只需利用已知條件尋找．

第(II)問(wèn)中由(I)易得，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的模型：，主要的處理手段是兩邊除以．

總體來(lái)說(shuō)，09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)I、Ⅱ這兩套試題都將數(shù)列題前置,主要考查構(gòu)造新數(shù)列(全國(guó)I還考查了利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和的方法)，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。

22. (2009天津卷文)已知等差數(shù)列的公差d不為0，設(shè)

(Ⅰ)若 ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)若成等比數(shù)列，求q的值。

(Ⅲ)若

(1)解：由題設(shè)，

代入解得，所以

(2)解：當(dāng)成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得

(3)證明：由題設(shè)，可得，則

　　 ①

　　 ②

①-②得，

①+②得，

　 ③

③式兩邊同乘以 q，得

所以

(3)證明：

=

因?yàn)?sub>，所以

若，取i=n，

若，取i滿足，且，

由(1)(2)及題設(shè)知，，且

①　　　　　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，，由，

即，

所以

因此

②　　　　　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，同理可得因此 　　　

綜上，

[考點(diǎn)定位]本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問(wèn)題的能力。

21.(2009江西卷文)數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為.

(1) 求; 　　　　　　

(2) 求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.

解: (1) 由于,故

,

故　 　　　　()

(2)

兩式相減得

故　　

20.(2009安徽卷文)已知數(shù)列{} 的前n項(xiàng)和，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和

(Ⅰ)求數(shù)列{}與{}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，＜ 　　　　　

[思路]由可求出，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出后，進(jìn)而得到，接下來(lái)用作差法來(lái)比較大小，這也是一常用方法。

[解析](1)由于

當(dāng)時(shí),

又當(dāng)時(shí)

數(shù)列項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為 　　　　　

(2)由(1)知

由即即

又時(shí)成立,即由于恒成立. 　　　　　

因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),

19.(2009全國(guó)卷Ⅱ文)已知等差數(shù)列{}中，求{}前n項(xiàng)和. 　　　

解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解。

解：設(shè)的公差為，則 　　

即

解得

因此

18.(2009山東卷文)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的　 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.　　 　

(1)求r的值；　　　

(11)當(dāng)b=2時(shí)，記　 　　求數(shù)列的前項(xiàng)和

解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,

當(dāng)時(shí),,　　 　

當(dāng)時(shí),,

又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,　 所以,　 公比為,　　 所以

(2)當(dāng)b=2時(shí)，,　　

則

相減,得

所以

[命題立意]:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.

17.(2009北京文)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

(Ⅰ)若，求；

(Ⅱ)若，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式；

(Ⅲ)是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

[解析]本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、

分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題.

解(Ⅰ)由題意，得，解，得. 　　　

∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7，即.

(Ⅱ)由題意，得，

對(duì)于正整數(shù)，由，得.

根據(jù)的定義可知

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴

.

(Ⅲ)假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得.

∵,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有

，即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立.

　當(dāng)(或)時(shí)，得(或)，

　這與上述結(jié)論矛盾！

當(dāng)，即時(shí)，得，解得.

∴ 存在p和q，使得；

p和q的取值范圍分別是，..

16.(2009浙江文)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其中是常數(shù)．

　 (I) 求及；

　 (II)若對(duì)于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．

解(Ⅰ)當(dāng)，

()

　經(jīng)驗(yàn)，()式成立，　　　

(Ⅱ)成等比數(shù)列，，

即，整理得：，

對(duì)任意的成立，　　　　　

15.(2009遼寧卷理)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則 　　　　　　　　

解析 ∵S_n＝na₁+n(n－1)d　　 　

　　　　 ∴S₅＝5a₁+10d,S₃＝3a₁+3d

　　　　 ∴6S₅－5S₃＝30a₁+60d－(15a₁+15d)＝15a₁+45d＝15(a₁+3d)＝15a₄

答案

_{三、解答題}