13.空間的各種距離

點(diǎn)到平面的距離

(1)定義　 從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面 的距離.

(2)求點(diǎn)面距離常用的方法：

1)直接利用定義求

①找到(或作出)表示距離的線(xiàn)段；

②抓住線(xiàn)段(所求距離)所在三角形解之.

2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線(xiàn) 的距離就是所求的點(diǎn)面距離.

3)體積法　 其步驟是：①在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；②求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；③由V=S·h，求出h即為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線(xiàn)即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算.

4)轉(zhuǎn)化法　 將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為(平行)直線(xiàn)與平面的距離來(lái)求.

12.二面角及二面角的平面角

(1)半平面　 一條直線(xiàn)把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.

(2)二面角　 從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.

若兩個(gè)平面相交，則以?xún)蓚�(gè)平面的交線(xiàn)為棱形成四個(gè)二面角.

二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，通常認(rèn)為二面角的平面角θ的取值范圍是

0°＜θ≤180°

(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所組成的角叫做二面角的平面角.

如圖，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小與頂點(diǎn)C在棱AB上的位置無(wú)關(guān).

②二面角的平面角具有下列性質(zhì)：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.

(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線(xiàn)，垂足必在平面角 的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線(xiàn))上.

(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.

③找(或作)二面角的平面角的主要方法.

(i)定義法

(ii)垂面法

(iii)三垂線(xiàn)法

(Ⅳ)根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)

(4)求二面角大小的常見(jiàn)方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過(guò)解三角形求得θ的值.

②利用面積射影定理

S′=S·cosα

其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S′是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，α為二面角的大小.

③利用異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.

11.直線(xiàn)和平面所成的角

(1)定義　 直線(xiàn)和平面所成的角有三種：

(i)斜線(xiàn)和平面所成的角　 平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn) 和這個(gè)平面所成的角.

(ii)垂線(xiàn)與平面所成的角　 一條直線(xiàn)垂直于平面，則它們所成的角是直角.

(iii)一條直線(xiàn)和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.

(2)取值范圍　　　 0°≤θ≤90°

(3)求解方法

①作出斜線(xiàn)在平面上的射影，找到斜線(xiàn)與平面所成的角θ.

②解含θ的三角形，求出其大小.

③最小角定理

斜線(xiàn)和平面所成的角，是這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角，亦可說(shuō)，斜線(xiàn)和平面所成的角不大于斜線(xiàn)與平面內(nèi)任何直線(xiàn)所成的角.

10.空間中的各種角

等角定理及其推論

定理　 若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等.

推論　 若兩條相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，則這兩組直線(xiàn)所成的銳角(或直角)相等.

異面直線(xiàn)所成的角

(1)定義：a、b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線(xiàn)a′∥a,b′∥b,則a′和b ′所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角.

(2)取值范圍：0°＜θ≤90°.

(3)求解方法

①根據(jù)定義，通過(guò)平移，找到異面直線(xiàn)所成的角θ；

②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.

9.射影及有關(guān)性質(zhì)

(1)點(diǎn)在平面上的射影　 自一點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).

(2)直線(xiàn)在平面上的射影　 自直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線(xiàn)，過(guò)兩垂足的直線(xiàn)叫做直線(xiàn)在這平面上的射影.和射影面垂直的直線(xiàn)的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線(xiàn)的射影是一條直線(xiàn).

(3)圖形在平面上的射影　 一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.

當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線(xiàn)段；

當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.

(4)射影的有關(guān)性質(zhì)

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中：

(i)射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等，射影較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段也較長(zhǎng)；

(ii)相等的斜線(xiàn)段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段的射影也較長(zhǎng)；

(iii)垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短.

8.存在性和唯一性定理

(1)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)有且只有一條；

(2)過(guò)一點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)有且只有一條；

(3)過(guò)平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；

(4)與兩條異面直線(xiàn)都垂直相交的直線(xiàn)有且只有一條；

(5)過(guò)一點(diǎn)與已知直線(xiàn)垂直的平面有且只有一個(gè)；

(6)過(guò)平面的一條斜線(xiàn)且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；

(7)過(guò)兩條異面直線(xiàn)中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；

(8)過(guò)兩條互相垂直的異面直線(xiàn)中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).

7.直線(xiàn)在平面內(nèi)的判定

(1)利用公理1：一直線(xiàn)上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線(xiàn)在平面內(nèi).

(2)若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線(xiàn)在第一個(gè)平 面內(nèi)，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，則ABα.

(3)過(guò)一點(diǎn)和一條已知直線(xiàn)垂直的所有直線(xiàn)，都在過(guò)此點(diǎn)而垂直于已知直線(xiàn)的平面內(nèi)，即若A ∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，則aα.

(4)過(guò)平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線(xiàn)，都在過(guò)此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，則aβ.

(5)如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線(xiàn)平行的直線(xiàn)必在這個(gè) 平面內(nèi)，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,則bα.

6.線(xiàn)面平行與垂直的判定

(1)兩直線(xiàn)平行的判定

①定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)平行.

②如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線(xiàn)和交 線(xiàn)平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,則a∥b.

③平行于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.

④垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b

⑤兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行，即若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,則a∥ b

⑥如果一條直線(xiàn)和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行，即若α∩ β=b,a∥α,a∥β，則a∥b.

(2)兩直線(xiàn)垂直的判定

①定義：若兩直線(xiàn)成90°角，則這兩直線(xiàn)互相垂直.

②一條直線(xiàn)與兩條平行直線(xiàn)中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c

③一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn).即若a⊥α,bα，a⊥b .

④三垂線(xiàn)定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，若和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直， 則它也和這條斜線(xiàn)垂直.

⑤如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，那么這條直線(xiàn)與這個(gè)平面的垂線(xiàn)垂直.即若a∥α,b⊥α, 則a⊥b.

⑥三個(gè)兩兩垂直的平面的交線(xiàn)兩兩垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ= b,γ∩α=c，則a⊥b,b⊥c,c⊥a.

(3)直線(xiàn)與平面平行的判定

①定義：若一 條直線(xiàn)和平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則這直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.

②如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.

③兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，即若α∥β,lα，則l∥β.

④如果一個(gè)平面和平面外的一條直線(xiàn)都垂直于同一平面，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行.即 若α⊥β,l⊥β，lα，則l∥α.

⑤在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)的直線(xiàn)與這 個(gè)平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同側(cè)，且A、B到α等距，則AB∥α.

⑥兩個(gè)平行平面外的一條直線(xiàn)與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行，即若α∥β，aβ，a∥α，則α∥β.

⑦如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)與該平面平行，即若a⊥ α,bα，b⊥a，則b∥α.

⑧如果兩條平行直線(xiàn)中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平 面內(nèi))，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)

(4)直線(xiàn)與平面垂直的判定

①定義：若一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直.

②如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.

③如果兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥ α,則l⊥α.

④一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若α∥β,l⊥β ，則l⊥α.

⑤如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面，即 若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.

⑥如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面，即若α⊥γ ,β⊥γ,且a∩β=α,則a⊥γ.

(5)兩平面平行的判定

①定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無(wú)公共點(diǎn)α∥β.

②如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,則α∥β.

③垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行.即若α⊥a,β⊥a,則α∥β.

④平行于同一平面的兩平面平行.即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.

⑤一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面平行，即若 a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,則α∥β.

(6)兩平面垂直的判定

①定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面 角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l⊥β,lα ，則α⊥β.

③一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若α∥β，α⊥γ，則β⊥ γ.

5.異面直線(xiàn)的判定

證明兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)通常采用反證法.

有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線(xiàn)，與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn) ”.

4.空間線(xiàn)面的位置關(guān)系

(1)直線(xiàn)與直線(xiàn)

(2)直線(xiàn)和平面

(3)平面與平面