復雜線段比例式和等積式證明舉例

王仁宏

    義務教育初中幾何第二冊對簡單的線段比例式和等積式做了一些簡單介紹。但同學們解題中還會遇到一些復雜的線段比例式和等積式的證明。

    例如

    等，證明這些等式的思想是將它們轉(zhuǎn)化為簡單的比例式和等積式加以證明，下面舉例說明這種證題思路。

一. 型等式的證明

    例1. 如圖1所示，在△ABC中，∠A的平分線交BC于P，∠A的外角平分線交BC延長線于Q，O是PQ之中點。

圖1

    求證：

    證明：因為AP平分

    又因為O是斜邊PQ之中點，連AO，得OA=OP。因為

    例2. 如圖2所示，已知△ABC中，DF⊥BC于F。

    求證：

圖2

    證明：

二. 型等式的證明

    例3. 如圖3所示，已知一直線截△ABC的邊AB，AC和BC的延長線于F、E、D。

    求證：

圖3

    證明：過點C作CG//FD，交AB于G。

三. 型等式的證明

    例4. 如圖4所示，已知O是△ABC內(nèi)的一點，過O作EF、QP、GH分別平行于BC、CA、AB。

    求證：

圖4

    分析：求證的是三個比的和為1，只要求得與這三個比的分母是同一條線段，并且分子線段的和等于分母線段即可。

    證明：在中，

    在△ABC和△GOF中，

四. 型等式的證明

    例5. 如圖5所示，在銳角△ABC中，高線BE與CF相交于H，

    求證：。

圖5

    分析：求證式中的右端有線段的積，這使我們聯(lián)想到如能創(chuàng)造出相似三角形，則會有對應線段成比例，就會出現(xiàn)線段的乘積式，為此添輔助線于D，則出現(xiàn)相似三角形，而求證式中的右端均為相似三角形的邊，故可從相似三角形開始證明。

    證明：過H作交BC于D。

    則

    即         （1）

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 四邊形轉(zhuǎn)化為三角形解題三例

徐若翰

    例1. 某片綠地的形狀如圖1所示，其中，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的長。

圖1

    分析：延長AD、BC交于E點，

    則

    由此可見，延長一組對邊，就把原四邊形轉(zhuǎn)化為兩個含有特殊角的直角三角形。

    例2. 如圖2是一塊四邊形的薄鋼板，AB=AD。（1）能否先沿一條對角線將鋼板切割成兩塊，再焊接成一塊與原鋼板面積相同的三角形鋼板？若能，請說明切割、焊接的方法，用虛線畫出示意圖，并說明焊接的鋼板是什么三角形；若不能，請說明理由。（2）若BC=1m，CD=3m，求這塊鋼板的面積。

圖2

    分析：（1）由已知，

    得

    沿對角線AC切割后，把放在AB兩側(cè)，使AD與AB重合，點C落到點，再重新焊接。這時，

    所以，把繞著A點旋轉(zhuǎn)到，就使原四邊形轉(zhuǎn)化為，

    其中，且有：

    （2）

    于是可以求得，也就是鋼板面積。

    例3. 如圖3，在四邊形ABCD中，

，試求四邊形ABCD的面積S。

圖3

    分析：延長BA、CD交于E點，作中，

    又可證得F為AE中點，

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 含“…”的有理數(shù)加法

譚詠梅  楊春雪

    含省略號的有理數(shù)加法，常用的方法和技巧有如下幾種。

一、“順寫”加“倒寫”

    例1. 計算               解：設

    再把S倒過來寫：

    相加得：   

二、正負結(jié)合

    例2. 計算

    解：原式

三、裂項相加

    例3. 計算

    解：注意到

    ∴原式

四、加倍相減

    例4. 計算                        解：令原式

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 去掉“如圖”，變化多

韓曉宏

    一個幾何問題，如果給出了圖形，那么除了直觀這一功能之外，還可能限制人們更廣泛的自由思考。下面就是一例：

    如圖1，⊙和⊙都經(jīng)過A、B兩點，經(jīng)過點A的直線CD與⊙交于C，與⊙交于點D。經(jīng)過點B的直線EF與⊙交于點E，與⊙交于點F。

    求證：CE∥DF

（初三《幾何》第83頁）

    證明：連結(jié)AB

    因為 ABEC是⊙的內(nèi)接四邊形

    所以 ∠BAD＝∠E

    又 ADFB是⊙的內(nèi)接四邊形

    所以 ∠BAD＋∠F＝180°

    所以 ∠E＋∠F＝180°

    故 CE∥DF

    這個題并不難，但是，若去掉“如圖”二字，然后依據(jù)題意畫圖，便可發(fā)現(xiàn)滿足要求的圖形還不少：

    （1）公共弦兩邊各有兩點（三種，第一種如圖1，與課本圖相同）。

    （2）公共弦兩邊分別有一個點和三個點（兩種）。

    （3）四個點全在公共弦的同一側(cè)（兩種）。

    不管是哪一種情況，都可以通過連結(jié)AB，這條輔助線做出（當然也有其它方法），用到的其它知識點也與圖1中的大同小異。但要構(gòu)造出這些圖形，尤其是通過分類來研究這個問題，無疑可以訓練思維；而且在這個過程中體會一下包含的數(shù)學思想也十分重要。事實上，不少數(shù)學題目都可以用類似的方法進行更深一步的研究。尤其是一些幾何題，自由地變一下圖形，自由地換一下條件，都可以得到一些新的東西，這也是培養(yǎng)學生主動研究數(shù)學，深入探究的一個好方法。

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 列代數(shù)式五點注意

張?zhí)��?/p>

    人教版教材初一代數(shù)把像5、a、4a、ab、a+b、、a²這樣的式子稱之為是代數(shù)式。列代數(shù)式就是將文字敘述的語言表達成數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學式子表示出來，列出代數(shù)式后廣泛應用。這里我來談談列代數(shù)式時五點應注意的地方。

    一. 仔細辨別詞義

    列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辯析詞義。如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分。例：“3除a”，“被3除得a”，“a與b兩數(shù)的平方差”，“a與b兩數(shù)差的平方”，分別為“”、“  3a”、a²-b²、(a-b)²。

    二. 分清數(shù)量關(guān)系

    要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系。如比m大3的數(shù)應為m+3；比一個數(shù)大3的數(shù)是m，則這個數(shù)為m-3；一個數(shù)是a的3位，這個數(shù)為3a；a是這個數(shù)的3倍，這個數(shù)為。不要見多就加，見小就減，見倍就乘。

    三. 注意運算順序

    列代數(shù)式時，一般應在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，如a的2倍與b的3倍的差，為2a-3b，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來，如a與b的差的3倍，為3（a-b）。

    四. 規(guī)范書寫格式

    列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫。像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶 分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號。注意代數(shù)式括號的適當運用。

    五. 正確進行代換

    列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換。如圖，寫出圖中陰影部分面積的代數(shù)式為ab-（a-2x）（b-2x）。其中a與b分別表示長方形的長和寬，（a-2x）與（b-2x）分別表示小空白長方形的長和寬�！�

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 分類討論在相似形中的應用

馬健

    在我們的幾何題目中，有許多問題需要分類討論，常因不會分類、分類不確切或討論不全面發(fā)生漏解。只有全面掌握基礎知識和經(jīng)過嚴密思考，找準解題的切入點，才能使得出的結(jié)論不重復、不遺漏。下面就相似形中的幾個問題加以說明。

  例1. 已知兩數(shù)4和8，試寫出第三個數(shù)，使這三個數(shù)中，其中一個數(shù)是另外兩個數(shù)的比例中項，則第三個數(shù)為_____________。

    析：這是一道開放性題目，它需分幾種情況討論。不妨設第三個數(shù)為x，

    由可得；

    由得；

    由可得。

    故第三個數(shù)為2，或16，或。

  例2. 若，求x的值。

    析：利用合比性質(zhì)，當，此時

    又當時，可得出

    此時

    故x的值為，或。

  例3. 要做兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形框架的三邊長分別為4、5、6，另一個三角形框架的一邊長為2，怎樣選料，可使這兩個三角形相似。

    析：本題中長為2的邊長可以分別與長為4、5、6的邊對應。

    設另兩邊分別為x、y。于是得出：

    得：；

    得：；

    得：。

    所以框架另兩邊長可選，或，或。

  例4. 如圖1，，點M在AB上且，點N在AC上，聯(lián)結(jié)MN，使△AMN與原三角形相似，則AN＝___________。

    析：當MN∥BC時，△AMN∽△ABC，可得：

    ，即

    故

    當MN不平行于BC時，∠AMN＝∠C時，△AMN∽△ACB，可得：

    ，即，得

    故AN長為2，或

  例5. 若正方形的四個頂點分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩條直角邊長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為____________。

    析：這是一道操作、設計型開放題，可分兩種情況：（1）是正方形一角為直角三角形的直角時，如圖2，由相似可得出：；（2）是兩個頂點在斜邊上，如圖3，由相似可得出：。所以此正方形的邊長為，或。

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 例談求一次函數(shù)解析式的常見題型

  時勇

    一次函數(shù)及其圖像是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內(nèi)容。其中求一次函數(shù)解析式就是一類常見題型。現(xiàn)以部分中考題為例介紹幾種求一次函數(shù)解析式的常見題型。希望對同學們的學習有所幫助。

一. 定義型

    例1. 已知函數(shù)是一次函數(shù)，求其解析式。

    解：由一次函數(shù)定義知

    ，故一次函數(shù)的解析式為

    注意：利用定義求一次函數(shù)解析式時，要保證。如本例中應保證

二. 點斜型

    例2. 已知一次函數(shù)的圖像過點（2，－1），求這個函數(shù)的解析式。

    解：一次函數(shù)的圖像過點（2，－1）

    ，即

    故這個一次函數(shù)的解析式為

    變式問法：已知一次函數(shù)，當時，y＝－1，求這個函數(shù)的解析式。

三. 兩點型

    已知某個一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點坐標分別是（－2，0）、（0，4），則這個函數(shù)的解析式為_____________。

    解：設一次函數(shù)解析式為

    由題意得

    故這個一次函數(shù)的解析式為

四. 圖像型

    例4. 已知某個一次函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式為__________。

    解：設一次函數(shù)解析式為

    由圖可知一次函數(shù)的圖像過點（1，0）、（0，2）

    有

    故這個一次函數(shù)的解析式為

五. 斜截型

    例5. 已知直線與直線平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為___________。

    解析：兩條直線：；：。當，時，

    直線與直線平行，。

    又直線在y軸上的截距為2，

    故直線的解析式為

六. 平移型

    例6. 把直線向下平移2個單位得到的圖像解析式為___________。

    解析：設函數(shù)解析式為，直線向下平移2個單位得到的直線與直線平行

    直線在y軸上的截距為，故圖像解析式為

七. 實際應用型

    例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為___________。

    解：由題意得，即

    故所求函數(shù)的解析式為（）

    注意：求實際應用型問題的函數(shù)關(guān)系式要寫出自變量的取值范圍。

八. 面積型

    例8. 已知直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積等于4，則直線解析式為__________。

    解：易求得直線與x軸交點為（，0），所以，所以，即

    故直線解析式為或

九. 對稱型

    若直線與直線關(guān)于

    （1）x軸對稱，則直線l的解析式為

    （2）y軸對稱，則直線l的解析式為

    （3）直線y＝x對稱，則直線l的解析式為

    （4）直線對稱，則直線l的解析式為

    （5）原點對稱，則直線l的解析式為

    例9. 若直線l與直線關(guān)于y軸對稱，則直線l的解析式為____________。

    解：由（2）得直線l的解析式為

十. 開放型

    例10. 已知函數(shù)的圖像過點A（1，4），B（2，2）兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數(shù)解析式，并簡要說明解答過程。

    解：（1）若經(jīng)過A、B兩點的函數(shù)圖像是直線，由兩點式易得

    （2）由于A、B兩點的橫、縱坐標的積都等于4，所以經(jīng)過A、B兩點的函數(shù)圖像還可以是雙曲線，解析式為

    （3）其它（略）

十一. 幾何型

    例11. 如圖，在平面直角坐標系中，A、B是x軸上的兩點，，，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點，若C點的坐標為（0，3）。（1）求圖像過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式，并求其對稱軸；（2）求圖像過點E、F的一次函數(shù)的解析式。

    解：（1）由直角三角形的知識易得點A（，0）、B（，0），由待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式為，對稱軸是

    （2）連結(jié)OE、OF，則、。過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E（，）、F（，）由待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析式為

十二. 方程型

    例12. 若方程的兩根分別為，求經(jīng)過點P（，）和Q（，）的一次函數(shù)圖像的解析式

    解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，

    ，

    點P（11，3）、Q（－11，11）

    設過點P、Q的一次函數(shù)的解析式為

    則有

    解得

    故這個一次函數(shù)的解析式為

十三. 綜合型

    例13. 已知拋物線的頂點D在雙曲線上，直線經(jīng)過點D和點C（a、b）且使y隨x的增大而減小，a、b滿足方程組，求這條直線的解析式。

    解：由拋物線的頂點D（）在雙曲線上，可求得拋物線的解析式為：

    ，頂點D₁（1，－5）及

    頂點D₂（，－15）

    解方程組得，

    即C₁（－1，－4），C₂（2，－1）

    由題意知C點就是C₁（－1，－4），所以過C₁、D₁的直線是；過C₁、D₂的直線是

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 例析二次根式加減法“三步曲”

   王云峰   楊毅

    二次根式相加減，先把每個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別進行合并，即“先化簡――再判斷――最后合并”，這就是解答二次根式加減問題的三步曲。舉例說明如下：

    例1. 計算：

    分析：題中每個二次根式都是最簡二次根式，可直接判斷同類二次根式再分別合并。

    解：原式

    說明：二次根式不管是否為同類二次根式都可以相乘除，但只有同類二次根式才能相加減，即二次根式加減法的前提條件是具備同類二次根式，本題中不是同類二次根式，不能再進行加減運算。

    例2. 計算：

    分析：題中每個二次根式都不是最簡二次根式，應按“先化簡――再判斷――最后合并”三步曲進行計算。

    解：原式

    說明：二次根式前面的系數(shù)要寫成假分數(shù)的形式，不能寫成帶分數(shù)。本題中的系數(shù)不能寫成，的系數(shù)不能寫成。

    例3. 計算：

    分析：二次根式加減運算中如果有括號要先去括號，再按三步曲進行計算。

    解：原式

    說明：合并同類二次根式時，不可忽視系數(shù)為1或的二次根式。本題中的系數(shù)不是0，而是。另外，當括號前是“－”，去掉括號時括號內(nèi)各項要改變符號。

    例4. 計算：

    分析：二次根式內(nèi)有分式加減運算，要先將根號內(nèi)分式計算出最后結(jié)果，再按三步曲進行解答。

    解：原式

    說明：根號內(nèi)有分式加減運算時，如本題中的，不能錯誤地化簡成，正確的做法是在根號內(nèi)將分式通分求出結(jié)果，再進行二次根式的加減。

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 從最簡情形出發(fā)

周奕生

    當問題比較復雜，感到困難，不易下手時，就可以適當?shù)亍巴恕保�甚至可“退”到最簡單的情形，然后由此出發(fā)去分析，可能會巧妙地突破，請看

    例1  甲乙兩人輪流在圓形桌面上玩擺硬幣游戲，規(guī)定硬幣大小相同，不能重疊，誰擺下最后一枚誰獲勝。你知道獲勝的策略嗎？

    分析：一個大大的圓桌究竟可以容下多少枚小小的硬幣呢？這是多數(shù)解答者面臨的困境之一。但如果告訴你圓形的桌面很小，小到和硬幣一樣小，或者告訴你硬幣很大，大到和圓形桌面一樣大，這時應該說連三歲的小孩都知道先擺的人獲勝。事實上也是如此。不論桌面和硬幣的大小如何，先擺者只要將第一枚放在正中央，接下來只要后擺者能擺下一枚，先擺者也總可以擺下一枚，這是由于圓是中心對稱圖形，對于每確定的一個點，總存在一個關(guān)于圓心對稱的點。因此，先擺者獲勝。

    象上述這種思考問題的方法我們稱為簡約思維法，簡約思維法實際上就是將繁雜問題的背景簡單化，將一般問題特殊化。再看以下幾例。

    例2  某錄像廳原門票一張6元，降價后平均每場的觀眾可以增加3倍，收入增加了2倍，問每張門票降價多少元？

    分析  按一般的思路求解的方法大多是：設門票降價x元，原有觀眾a人，則原收入6a元，降價后收入4a（6－x）元，依題意，得

    4a（6－x）=18a，解得x=1.5

    因此，降價1.5元。

    現(xiàn)在我們問題的背景簡化為：原來的觀眾只有一人，則原收入6元，降價后觀眾有4人，收入18元，因此，降價后的門票價格是每張4.5元，降價了1.5元。

    例3  四只螞蟻分別從正方形的四個頂點同時沿正方形的邊爬行，如果它們的速度相同，那么這四只螞蟻不相撞的概率是多少？

    分析：許多人的解法是：將每只螞蟻可能爬行的方向（順時針和逆時針）一一羅列出來，然后確定不相撞的情形（都按順時針或逆時針方向爬行）求解。而事實上，我們可以先確定第一只螞蟻爬行的方向，為了不相撞，其余三只螞蟻爬行的方向必須與第一只相同，而每只螞蟻爬行方向與第一只相同的概率都是，因此，三只螞蟻爬行與第一只都相同的概率是，這就是四只螞蟻不相撞的概率。

    例4  某船拖一橡皮筏沿江逆流而上，在A處由于繩子斷開，橡皮筏順流漂走了10分鐘后船上的人才知道，立即掉頭追趕。假設船掉頭的時間忽略不計，問需要多少分鐘才能追上？

    分析：許多解題者一見到這個題目都認為題設條件似乎不足，一旦確定題目無誤后采用的解法大多是運用“設而不求”法，即設船在靜水中的速度為a，水流的速度為b等等。而事實上題目并沒有告訴我們水流速度如何如何，我們完全可以假定水是靜止的，這樣問題豈不是很簡單了嗎？

    在水為靜止的前提下，繩子斷開后橡皮筏也是靜止的，始終呆在A處，船是在靜水中行駛，往返的速度相同，行駛的距離也是相同的，因此，船離開A處和返回到A處的時間相同，也是10分鐘，故船需要10分鐘才能追上橡皮筏。

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 兩圓外切的性質(zhì)與應用

孫建洪

兩圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種關(guān)系，當相切的兩個圓，除了切點外，每個圓上的點都各在另一個圓的外部時，我們稱這兩個圓外切。而且外切關(guān)系是兩圓位置關(guān)系中比較重要的一種關(guān)系，它具有的性質(zhì)較多。

4           性質(zhì)（1） 外切兩圓的連心線必經(jīng)過它們的切點，且兩個圓心之間的距離d（圓心距）

等于兩個圓的半徑之和，即d=R+r

兩圓外切，其中任一個圓的過兩圓切點的切線，也必是另一個圓的切線，也就是說，

兩個圓心及切點這三點共線。

例1 若兩圓半徑分別為R，r(R＞r)，其圓心距為d,且 ，則兩圓的位置關(guān)系是__________.

解：因為

所以

所以

所以d=R+r(R+r=-d不合題意).

因此兩圓的位置關(guān)系是外切.

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