平角應用四例
徐金星
1. 延長線段構造平角
例1 如圖1,AB//CD。求證:
證明:延長CE交AB于點F
因為AB//CD 所以C=CFA
2. 過某點作直線構造平角
例2 如圖2,已知,求證:。
證明:過點A作DE//BC,則
3. 過直線上一點作射線構造平角
例3 如圖3,已知,求證:
證明:在BC上取一點D(點D不與B、C重合),過點D分別作DE//AC交AB于E,DF//AB交AC于F
因為DE//AC
所以1=C,2=4
因為DF//AB 所以4=A
所以2=A
4. 反向延長射線構造平角
例4 如圖4,,OD為BOC的平分線,OE為BO的延長線。
求證:COE=2AOB。
證明:反向延長射線AO得射線OF
因為AOD為直角,AOF為平角
平行線判定和性質(zhì)結論識辨
任靜芳
學習平行線的判定和性質(zhì)時,對于如圖1所示的直線a、b被直線c所截的情況,由∠1=∠2得a∥b或者由a∥b得∠2=∠3(或∠2+∠4=180°)很容易接受,但在較復雜圖形中,則往往弄不清由條件能得出什么結論。
問題1:如圖2,由∠1=∠2能得AB∥CD還是AD∥BC?
問題2:如圖2,由AB∥CD能得∠1=∠2還是∠3=∠4?
解析:問題1:(1)首先找出已知條件的兩個角:∠1、∠2。
(2)其次找出它們的邊,劃掉公共邊(或處在一條直線上的兩邊):
∠1的邊 DA,DB
∠2的邊 BD,BC
(3)其余兩邊便是由∠1=∠2推得的兩條平行直線。
即∵∠1=∠2(已知)
∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)
問題2:由AB∥CD首先找出AB、CD被哪條直線所截能得到∠1、∠2、∠3、∠4,可以看出這條直線是BD;其次由AB與BD得到∠4而不是∠2,由CD與BD得到∠3而不是∠1。即因為AB∥CD,所以∠3=∠4(而不是∠1=∠2)。
評注:產(chǎn)生上面兩個問題的原因還是“三線八角”的遺留問題,即找出構成“八角”的“三線”中的截線是哪條直線,就不難找出所需要的角。
平行線分線段成比例定理的應用
黃細把
平行線分線段成比例定理及其有關推論,除了證明線段成比例和等積外,還可以證明其他一些線段問題。請看如下例題:
例1. 如圖1,在△ABC中,D為AC上一點,E為CB延長線上一點,且。
求證:AD=EB
證明:過D作DG∥AB交BC于G
∵DG∥AB,F(xiàn)B∥DG
例2. 如圖2,△ABC中,D、F在AB上,且AD=BF,DE∥BC交AC于E,F(xiàn)G∥BC交AC于G。
求證:DE+FG=BC
證明:∵DE∥BC,F(xiàn)G∥BC
例3. 如圖3,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,M為AD的中點,CM的延長線交AB于K。
求證:AB=3AK
證明:過B作BG∥KM交AD延長線于G
于D
∴BD=CD,MD=GD
∵AD=2AM
例4. 如圖4,△ABC中,D為BC上任一點,BE∥AD交CA延長線于E,CF∥AD交BA延長線于F。
求證:
證明:∵AD∥BE,AD∥CF
巧用方程組的解的意義解題
吳健
已知關于x、y的方程組和,有相同的解,求a、b的值。
分析:既然兩個方程組的解相同,那么方程與的解也應該相同;由這兩個方程可求得x、y的值,然后再代入中,解關于a、b的二元一次方程組,便可求得a、b的值。
解:由于有相同的解,所以該相同的解應是方程組 (1)與 (2)的解,解方程組(1)得,然后把代入方程組(2),得,解得。故a、b的值分別是2和1。
同學們仿此例可利用方程組的解的意義解以下幾題:
1. 已知關于x、y的方程組和的解相同,求a、b的值。
(答案:)
2. 若方程組與方程組的解相同。則的值是多少??
(答案:1)
對角線互相垂直的四邊形的面積
張現(xiàn)立
對角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對角線長的積的一半。下面我們證明這個結論。
已知:四邊形ABCD中,對角線于E,如圖1。
求證:
圖1
證明:在四邊形ABCD中,于E
所以
對于對角線互相垂直的四邊形的面積求解問題,這是一個十分方便的公式。
例1. 菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O,的周長為,求菱形ABCD的面積。(如圖2)
圖2
解:在菱形ABCD中,
因為,所以
設,則
所以
解得
所以
所以
所以
例2. 等腰梯形ABCD的兩條對角線互相垂直,垂足為O,梯形的高為a,求梯形ABCD的面積。
解:設梯形ABCD的腰為AB、CD,則,,BC=CB(如圖3)
圖3
所以
所以
又因為于O,所以在中,
過點D作于E,則為等腰直角三角形,故
所以
例3. 如圖4,已知:在中,BD和CE分別是兩邊上的中線,并且,求的面積。
圖4
解:連結DE,則四邊形BCDE的面積為
又因為
所以
例4. 如圖5,已知:在邊長為4cm的正方形ABCD中,取CD的中點E,G在BC上,F(xiàn)在AD上,,求四邊形AGEF的面積。
圖5
解:在中,
所以
過G點作,垂足為H
因為,所以
從而
又因為
所以
所以
故
例5. 已知梯形ABCD中,,如圖6,求。
圖6
解:過D作DE//AC交BC的延長線于點E,所以四邊形ADEC是平行四邊形。
所以
因為
所以
所以
又因為DE//AC,所以
所以
定義的應用
楊志彬
數(shù)學概念的學習往往容易被忽略,其實數(shù)學概念是極其重要的數(shù)學內(nèi)容,有些概念的定義本身就可以解決一些問題,下面舉例說明。
1. 若單項式與是同類項,則=____________。
2. 若b<0,化簡。
3. 若最簡根式是同類二次根式,則m,n的值為______。
4. 若,則關于x的二次方程,必有一根等于_________;若,情況又如何?
5. 設反比例函數(shù)的圖象與直線有兩個交點A、B,求n的值和A、B兩點的坐標。
6. 下列圖象所表示的y與x間的關系中,y不是x的函數(shù)的有_________。
提示:
1. 用同類項定義。答案:。
2. 考察根式的定義。答案:。
3. 考察最簡二次根式的定義。答案:6,8。
4. 考察方程根的定義。答案:1;。
5. 用反比例函數(shù)定義。
答案:
6. 用函數(shù)的定義。答案(B)、(C)。
完全平方公式變形的應用
姜峰
完全平方公式是多項式乘法中非常重要的一個公式。掌握其變形特點并靈活運用,可以巧妙地解決很多問題。
一. 完全平方公式常見的變形有
a2+b2=(a+b)2-2ab,
a2+b2=(a-b)2+2ab,
(a+b)2-(a-b)2=4ab,
a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)
二. 乘法公式變形的應用
例1: 已知:x2+y2+4x-6y+13=0,x、y均為有理數(shù),求xy的值。
分析:逆用完全乘方公式,將
x2+y2+4x-6y+13化為兩個完全平方式的和,利用完全平方式的非負性求出x與y的值即可。
解:∵x2+y2+4x-6y+13=0,
(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0,
即(x+2)2+(y-3)2=0。
∴x+2=0,y=3=0。
即x=-2,y=3。
∴xy=(-2)3=-8。
分析:本題巧妙地利用
例3 已知:a+b=8,ab=16+c2,求(a-b+c)2002的值。
分析:由已知條件無法直接求得(a-b+c)2002的值,可利用(a-b)2=(a+b)2-4ab確定a-b與c的關系,再計算(a-b+c)2002的值。
解:(a-b)2=(a+b)2-4ab=82-4(16+c2)=-4c2。
即:(a-b)2+4c2=0。
∴a-b=0,c=0。
∴(a-b+c)2002=0。
例4 已知:a、b、c、d為正有理數(shù),且滿足a4+b4+C4+D4=4abcd。
求證:a=b=c=d。
分析:從a4+b4+C4+D4=4abcd的特點看出可以化成完全平方形式,再尋找證明思路。
證明:∵a4+b4+C4+D4=4abcd,
∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0,
(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0。
a2-b2=0,c2-d2=0,ab-cd=0
又∵a、b、c、d為正有理數(shù),
∴a=b,c=d。代入ab-cd=0,
得a2=c2,即a=c。
所以有a=b=c=d。
練習:
1. 已知:x2+3x+1=0。
2. 已知x,y,z滿足條件
求:(1)x2+y2+z2
(2)x4+y4+z4的值
3. 已知:x=a2+b2,y=c2+d2。
求證:x,y可表示成平方和的形式。
4. 已知:ad-bc=1
求證:a2+b2+c2+d2+ad+cd≠1。
如何學好絕對值
朱永年
絕對值是中學數(shù)學的一個重要概念,學好它非常重要。要學好絕對值,除了熟練掌握正負數(shù)、相反數(shù)和絕對值的性質(zhì)外,還應掌握絕對值的幾何意義,具體來說要注意以下幾點。
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