平角應(yīng)用四例

徐金星

  1. 延長線段構(gòu)造平角

    例1  如圖1，AB//CD。求證：

    證明：延長CE交AB于點F

    因為AB//CD          所以C=CFA

  2. 過某點作直線構(gòu)造平角

    例2  如圖2，已知，求證：。

    證明：過點A作DE//BC，則

  3. 過直線上一點作射線構(gòu)造平角

    例3  如圖3，已知，求證：

    證明：在BC上取一點D（點D不與B、C重合），過點D分別作DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F

    因為DE//AC

    所以1=C，2=4

    因為DF//AB          所以4=A

    所以2=A

  4. 反向延長射線構(gòu)造平角

    例4  如圖4，，OD為BOC的平分線，OE為BO的延長線。

    求證：COE=2AOB。

    證明：反向延長射線AO得射線OF

    因為AOD為直角，AOF為平角

試題詳情

 平行線判定和性質(zhì)結(jié)論識辨

任靜芳

    學(xué)習(xí)平行線的判定和性質(zhì)時，對于如圖1所示的直線a、b被直線c所截的情況，由∠1＝∠2得a∥b或者由a∥b得∠2＝∠3（或∠2＋∠4＝180°）很容易接受，但在較復(fù)雜圖形中，則往往弄不清由條件能得出什么結(jié)論。

    問題1：如圖2，由∠1＝∠2能得AB∥CD還是AD∥BC？

    問題2：如圖2，由AB∥CD能得∠1＝∠2還是∠3＝∠4？

    解析：問題1：（1）首先找出已知條件的兩個角：∠1、∠2。

    （2）其次找出它們的邊，劃掉公共邊（或處在一條直線上的兩邊）：

    ∠1的邊    DA，DB

    ∠2的邊    BD，BC

    （3）其余兩邊便是由∠1＝∠2推得的兩條平行直線。

    即∵∠1＝∠2（已知）

    ∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

    問題2：由AB∥CD首先找出AB、CD被哪條直線所截能得到∠1、∠2、∠3、∠4，可以看出這條直線是BD；其次由AB與BD得到∠4而不是∠2，由CD與BD得到∠3而不是∠1。即因為AB∥CD，所以∠3＝∠4（而不是∠1＝∠2）。

    評注：產(chǎn)生上面兩個問題的原因還是“三線八角”的遺留問題，即找出構(gòu)成“八角”的“三線”中的截線是哪條直線，就不難找出所需要的角。

試題詳情

 平行線分線段成比例定理的應(yīng)用

黃細(xì)把

    平行線分線段成比例定理及其有關(guān)推論，除了證明線段成比例和等積外，還可以證明其他一些線段問題。請看如下例題：

  例1. 如圖1，在△ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且。

    求證：AD＝EB

    證明：過D作DG∥AB交BC于G

    ∵DG∥AB，F(xiàn)B∥DG

  例2. 如圖2，△ABC中，D、F在AB上，且AD＝BF，DE∥BC交AC于E，F(xiàn)G∥BC交AC于G。

    求證：DE＋FG＝BC

    證明：∵DE∥BC，F(xiàn)G∥BC

  例3. 如圖3，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M為AD的中點，CM的延長線交AB于K。

    求證：AB＝3AK

    證明：過B作BG∥KM交AD延長線于G

    于D

    ∴BD＝CD，MD＝GD

    ∵AD＝2AM

  例4. 如圖4，△ABC中，D為BC上任一點，BE∥AD交CA延長線于E，CF∥AD交BA延長線于F。

    求證：

    證明：∵AD∥BE，AD∥CF

試題詳情

 巧用方程組的解的意義解題

吳健

    已知關(guān)于x、y的方程組和，有相同的解，求a、b的值。

    分析：既然兩個方程組的解相同，那么方程與的解也應(yīng)該相同；由這兩個方程可求得x、y的值，然后再代入中，解關(guān)于a、b的二元一次方程組，便可求得a、b的值。

    解：由于有相同的解，所以該相同的解應(yīng)是方程組   （1）與     （2）的解，解方程組（1）得，然后把代入方程組（2），得，解得。故a、b的值分別是2和1。

    同學(xué)們仿此例可利用方程組的解的意義解以下幾題：

  1. 已知關(guān)于x、y的方程組和的解相同，求a、b的值。

    （答案：）

  2. 若方程組與方程組的解相同。則的值是多少？？

    （答案：1）

試題詳情

 對角線互相垂直的四邊形的面積

張現(xiàn)立

    對角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對角線長的積的一半。下面我們證明這個結(jié)論。

    已知：四邊形ABCD中，對角線于E，如圖1。

    求證：

圖1

    證明：在四邊形ABCD中，于E

    所以

    對于對角線互相垂直的四邊形的面積求解問題，這是一個十分方便的公式。

  例1. 菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，的周長為，求菱形ABCD的面積。（如圖2）

圖2

    解：在菱形ABCD中，

    因為，所以

    設(shè)，則

    所以

    解得

    所以

    所以

    所以

  例2. 等腰梯形ABCD的兩條對角線互相垂直，垂足為O，梯形的高為a，求梯形ABCD的面積。

    解：設(shè)梯形ABCD的腰為AB、CD，則，，BC＝CB（如圖3）

圖3

    所以

    所以

    又因為于O，所以在中，

    過點D作于E，則為等腰直角三角形，故

    所以

  例3. 如圖4，已知：在中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且，求的面積。

圖4

    解：連結(jié)DE，則四邊形BCDE的面積為

    又因為

    所以

  例4. 如圖5，已知：在邊長為4cm的正方形ABCD中，取CD的中點E，G在BC上，F(xiàn)在AD上，，求四邊形AGEF的面積。

圖5

    解：在中，

    所以

    過G點作，垂足為H

    因為，所以

    從而

    又因為

    所以

    所以

    故

  例5. 已知梯形ABCD中，，如圖6，求。

圖6

    解：過D作DE//AC交BC的延長線于點E，所以四邊形ADEC是平行四邊形。

    所以

    因為

    所以

    所以

    又因為DE//AC，所以

    所以

試題詳情

 定義的應(yīng)用

楊志彬

    數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)往往容易被忽略，其實數(shù)學(xué)概念是極其重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些概念的定義本身就可以解決一些問題，下面舉例說明。

    1. 若單項式與是同類項，則=____________。

    2. 若b<0，化簡。

    3. 若最簡根式是同類二次根式，則m，n的值為______。

    4. 若，則關(guān)于x的二次方程，必有一根等于_________；若，情況又如何？

    5. 設(shè)反比例函數(shù)的圖象與直線有兩個交點A、B，求n的值和A、B兩點的坐標(biāo)。

    6. 下列圖象所表示的y與x間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的有_________。

    提示：

    1. 用同類項定義。答案：。

    2. 考察根式的定義。答案：。

    3. 考察最簡二次根式的定義。答案：6，8。

    4. 考察方程根的定義。答案：1；。

    5. 用反比例函數(shù)定義。

    答案：

    6. 用函數(shù)的定義。答案（B）、（C）。

試題詳情

 完全平方公式變形的應(yīng)用

  姜峰

    完全平方公式是多項式乘法中非常重要的一個公式。掌握其變形特點并靈活運(yùn)用，可以巧妙地解決很多問題。

   一. 完全平方公式常見的變形有

    a²+b²=（a+b）²-2ab，

    a²+b²=（a-b）²+2ab，

    （a+b）²-（a-b）²=4ab，

     a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）

  二. 乘法公式變形的應(yīng)用

    例1： 已知：x²+y²+4x-6y+13=0，x、y均為有理數(shù)，求x^y的值。

    分析：逆用完全乘方公式，將

    x²+y²+4x-6y+13化為兩個完全平方式的和，利用完全平方式的非負(fù)性求出x與y的值即可。

    解：∵x²+y²+4x-6y+13=0，

    （x²+4x+4）+（y²-6y+9）=0，

    即（x+2）²+（y-3）²=0。

    ∴x+2=0，y=3=0。

    即x=-2，y=3。

    ∴x^y=（-2）³=-8。

    分析：本題巧妙地利用

    例3 已知：a+b=8，ab=16+c²，求（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    分析：由已知條件無法直接求得（a-b+c）²⁰⁰²的值，可利用（a-b）²=（a+b）²-4ab確定a-b與c的關(guān)系，再計算（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    解：（a-b）²=（a+b）²-4ab=8²-4（16+c²）=-4c²。

    即：（a-b）²+4c²=0。

    ∴a-b=0，c=0。

    ∴（a-b+c）²⁰⁰²=0。

    例4 已知：a、b、c、d為正有理數(shù)，且滿足a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd。

    求證：a=b=c=d。

    分析：從a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd的特點看出可以化成完全平方形式，再尋找證明思路。

    證明：∵a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd，

    ∴a⁴-2a²b²+b⁴+c⁴-2c²d²+d⁴+2a²b²-4abcd+2c²d²=0，

    （a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0。

     a²-b²=0，c²-d²=0，ab-cd=0

    又∵a、b、c、d為正有理數(shù)，

    ∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

    得a²=c²，即a=c。

    所以有a=b=c=d。

    練習(xí)：

    1. 已知：x²+3x+1=0。

    2. 已知x，y，z滿足條件

    求：（1）x²+y²+z²

    （2）x⁴+y⁴+z⁴的值

    3. 已知：x=a²+b²，y=c²+d²。

    求證：x，y可表示成平方和的形式。

    4. 已知：ad-bc=1

    求證：a²+b²+c²+d²+ad+cd≠1。  

試題詳情

 學(xué)好與用好冪的法則

于 波

（接上期）

試題詳情

 學(xué)習(xí)有理數(shù)加減三注意

盧守銀

    有理數(shù)的加減是初一代數(shù)的一個難點。學(xué)習(xí)時，應(yīng)注意以下三點：

試題詳情

 如何學(xué)好絕對值

朱永年

    絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念，學(xué)好它非常重要。要學(xué)好絕對值，除了熟練掌握正負(fù)數(shù)、相反數(shù)和絕對值的性質(zhì)外，還應(yīng)掌握絕對值的幾何意義，具體來說要注意以下幾點。

試題詳情