平角應用四例

徐金星

  1. 延長線段構造平角

    例1  如圖1，AB//CD。求證：

    證明：延長CE交AB于點F

    因為AB//CD          所以C=CFA

  2. 過某點作直線構造平角

    例2  如圖2，已知，求證：。

    證明：過點A作DE//BC，則

  3. 過直線上一點作射線構造平角

    例3  如圖3，已知，求證：

    證明：在BC上取一點D（點D不與B、C重合），過點D分別作DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F

    因為DE//AC

    所以1=C，2=4

    因為DF//AB          所以4=A

    所以2=A

  4. 反向延長射線構造平角

    例4  如圖4，，OD為BOC的平分線，OE為BO的延長線。

    求證：COE=2AOB。

    證明：反向延長射線AO得射線OF

    因為AOD為直角，AOF為平角

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 平行線判定和性質(zhì)結論識辨

任靜芳

    學習平行線的判定和性質(zhì)時，對于如圖1所示的直線a、b被直線c所截的情況，由∠1＝∠2得a∥b或者由a∥b得∠2＝∠3（或∠2＋∠4＝180°）很容易接受，但在較復雜圖形中，則往往弄不清由條件能得出什么結論。

    問題1：如圖2，由∠1＝∠2能得AB∥CD還是AD∥BC？

    問題2：如圖2，由AB∥CD能得∠1＝∠2還是∠3＝∠4？

    解析：問題1：（1）首先找出已知條件的兩個角：∠1、∠2。

    （2）其次找出它們的邊，劃掉公共邊（或處在一條直線上的兩邊）：

    ∠1的邊    DA，DB

    ∠2的邊    BD，BC

    （3）其余兩邊便是由∠1＝∠2推得的兩條平行直線。

    即∵∠1＝∠2（已知）

    ∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

    問題2：由AB∥CD首先找出AB、CD被哪條直線所截能得到∠1、∠2、∠3、∠4，可以看出這條直線是BD；其次由AB與BD得到∠4而不是∠2，由CD與BD得到∠3而不是∠1。即因為AB∥CD，所以∠3＝∠4（而不是∠1＝∠2）。

    評注：產(chǎn)生上面兩個問題的原因還是“三線八角”的遺留問題，即找出構成“八角”的“三線”中的截線是哪條直線，就不難找出所需要的角。

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 平行線分線段成比例定理的應用

黃細把

    平行線分線段成比例定理及其有關推論，除了證明線段成比例和等積外，還可以證明其他一些線段問題。請看如下例題：

  例1. 如圖1，在△ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且。

    求證：AD＝EB

    證明：過D作DG∥AB交BC于G

    ∵DG∥AB，F(xiàn)B∥DG

  例2. 如圖2，△ABC中，D、F在AB上，且AD＝BF，DE∥BC交AC于E，F(xiàn)G∥BC交AC于G。

    求證：DE＋FG＝BC

    證明：∵DE∥BC，F(xiàn)G∥BC

  例3. 如圖3，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M為AD的中點，CM的延長線交AB于K。

    求證：AB＝3AK

    證明：過B作BG∥KM交AD延長線于G

    于D

    ∴BD＝CD，MD＝GD

    ∵AD＝2AM

  例4. 如圖4，△ABC中，D為BC上任一點，BE∥AD交CA延長線于E，CF∥AD交BA延長線于F。

    求證：

    證明：∵AD∥BE，AD∥CF

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 巧用方程組的解的意義解題

吳健

    已知關于x、y的方程組和，有相同的解，求a、b的值。

    分析：既然兩個方程組的解相同，那么方程與的解也應該相同；由這兩個方程可求得x、y的值，然后再代入中，解關于a、b的二元一次方程組，便可求得a、b的值。

    解：由于有相同的解，所以該相同的解應是方程組   （1）與     （2）的解，解方程組（1）得，然后把代入方程組（2），得，解得。故a、b的值分別是2和1。

    同學們仿此例可利用方程組的解的意義解以下幾題：

  1. 已知關于x、y的方程組和的解相同，求a、b的值。

    （答案：）

  2. 若方程組與方程組的解相同。則的值是多少？？

    （答案：1）

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 對角線互相垂直的四邊形的面積

張現(xiàn)立

    對角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對角線長的積的一半。下面我們證明這個結論。

    已知：四邊形ABCD中，對角線于E，如圖1。

    求證：

圖1

    證明：在四邊形ABCD中，于E

    所以

    對于對角線互相垂直的四邊形的面積求解問題，這是一個十分方便的公式。

  例1. 菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，的周長為，求菱形ABCD的面積。（如圖2）

圖2

    解：在菱形ABCD中，

    因為，所以

    設，則

    所以

    解得

    所以

    所以

    所以

  例2. 等腰梯形ABCD的兩條對角線互相垂直，垂足為O，梯形的高為a，求梯形ABCD的面積。

    解：設梯形ABCD的腰為AB、CD，則，，BC＝CB（如圖3）

圖3

    所以

    所以

    又因為于O，所以在中，

    過點D作于E，則為等腰直角三角形，故

    所以

  例3. 如圖4，已知：在中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且，求的面積。

圖4

    解：連結DE，則四邊形BCDE的面積為

    又因為

    所以

  例4. 如圖5，已知：在邊長為4cm的正方形ABCD中，取CD的中點E，G在BC上，F(xiàn)在AD上，，求四邊形AGEF的面積。

圖5

    解：在中，

    所以

    過G點作，垂足為H

    因為，所以

    從而

    又因為

    所以

    所以

    故

  例5. 已知梯形ABCD中，，如圖6，求。

圖6

    解：過D作DE//AC交BC的延長線于點E，所以四邊形ADEC是平行四邊形。

    所以

    因為

    所以

    所以

    又因為DE//AC，所以

    所以

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 定義的應用

楊志彬

    數(shù)學概念的學習往往容易被忽略，其實數(shù)學概念是極其重要的數(shù)學內(nèi)容，有些概念的定義本身就可以解決一些問題，下面舉例說明。

    1. 若單項式與是同類項，則=____________。

    2. 若b<0，化簡。

    3. 若最簡根式是同類二次根式，則m，n的值為______。

    4. 若，則關于x的二次方程，必有一根等于_________；若，情況又如何？

    5. 設反比例函數(shù)的圖象與直線有兩個交點A、B，求n的值和A、B兩點的坐標。

    6. 下列圖象所表示的y與x間的關系中，y不是x的函數(shù)的有_________。

    提示：

    1. 用同類項定義。答案：。

    2. 考察根式的定義。答案：。

    3. 考察最簡二次根式的定義。答案：6，8。

    4. 考察方程根的定義。答案：1；。

    5. 用反比例函數(shù)定義。

    答案：

    6. 用函數(shù)的定義。答案（B）、（C）。

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 完全平方公式變形的應用

  姜峰

    完全平方公式是多項式乘法中非常重要的一個公式。掌握其變形特點并靈活運用，可以巧妙地解決很多問題。

   一. 完全平方公式常見的變形有

    a²+b²=（a+b）²-2ab，

    a²+b²=（a-b）²+2ab，

    （a+b）²-（a-b）²=4ab，

     a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）

  二. 乘法公式變形的應用

    例1： 已知：x²+y²+4x-6y+13=0，x、y均為有理數(shù)，求x^y的值。

    分析：逆用完全乘方公式，將

    x²+y²+4x-6y+13化為兩個完全平方式的和，利用完全平方式的非負性求出x與y的值即可。

    解：∵x²+y²+4x-6y+13=0，

    （x²+4x+4）+（y²-6y+9）=0，

    即（x+2）²+（y-3）²=0。

    ∴x+2=0，y=3=0。

    即x=-2，y=3。

    ∴x^y=（-2）³=-8。

    分析：本題巧妙地利用

    例3 已知：a+b=8，ab=16+c²，求（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    分析：由已知條件無法直接求得（a-b+c）²⁰⁰²的值，可利用（a-b）²=（a+b）²-4ab確定a-b與c的關系，再計算（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    解：（a-b）²=（a+b）²-4ab=8²-4（16+c²）=-4c²。

    即：（a-b）²+4c²=0。

    ∴a-b=0，c=0。

    ∴（a-b+c）²⁰⁰²=0。

    例4 已知：a、b、c、d為正有理數(shù)，且滿足a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd。

    求證：a=b=c=d。

    分析：從a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd的特點看出可以化成完全平方形式，再尋找證明思路。

    證明：∵a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd，

    ∴a⁴-2a²b²+b⁴+c⁴-2c²d²+d⁴+2a²b²-4abcd+2c²d²=0，

    （a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0。

     a²-b²=0，c²-d²=0，ab-cd=0

    又∵a、b、c、d為正有理數(shù)，

    ∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

    得a²=c²，即a=c。

    所以有a=b=c=d。

    練習：

    1. 已知：x²+3x+1=0。

    2. 已知x，y，z滿足條件

    求：（1）x²+y²+z²

    （2）x⁴+y⁴+z⁴的值

    3. 已知：x=a²+b²，y=c²+d²。

    求證：x，y可表示成平方和的形式。

    4. 已知：ad-bc=1

    求證：a²+b²+c²+d²+ad+cd≠1。  

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 學好與用好冪的法則

于 波

（接上期）

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 學習有理數(shù)加減三注意

盧守銀

    有理數(shù)的加減是初一代數(shù)的一個難點。學習時，應注意以下三點：

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 如何學好絕對值

朱永年

    絕對值是中學數(shù)學的一個重要概念，學好它非常重要。要學好絕對值，除了熟練掌握正負數(shù)、相反數(shù)和絕對值的性質(zhì)外，還應掌握絕對值的幾何意義，具體來說要注意以下幾點。

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