2009屆雅禮中學(xué)高三月考試卷

 數(shù)   學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)

命題:高三數(shù)學(xué)組          審卷:高三數(shù)學(xué)組

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分,考試時間120分鐘.

參考公式:                                 正棱錐、圓錐的側(cè)面積公式

如果事件A、B互斥,那么                          

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨立,那么               其中,c表示底面周長、l表示斜高或

P(A?B)=P(A)?P(B)                  母線長

如果事件A在1次實驗中發(fā)生的概率是        球的體積公式

P,那么n次獨立重復(fù)實驗中恰好發(fā)生k               

次的概率            其中R表示球的半徑

第I卷(共40分)

一.選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要求的.

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},則M∩(UN)=

A.{1,2}           B.{4,5}             C.{3}                 D.{1,2,3,4,5}

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2.復(fù)數(shù)的虛部是

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       A.                  B.1                          C.                        D.

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3.的展開式中含項的系數(shù)是

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A.            B.             C.           D.

4.已知a,b∈R,且a>b,則下列不等式中恒成立的是

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A.a(chǎn)2>b2                    B.>1              。茫甽g(a-b)>0       D.() a <()b

5.給出下面四個命題:

①“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件是:直線ab不相交;

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②“直線l垂直于平面內(nèi)所有直線”的充要條件是:l⊥平面

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③“直線ab”的充分非必要條件是“a垂直于b在平面內(nèi)的射影”;

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④“直線∥平面”的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面內(nèi)的一條直線”.

其中正確命題的個數(shù)是

  A.1個            B.2個           C.3個     。模4個

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6.北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式,在坡度15°的看臺上,同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分

別為60°和30°, 第一排和最后一排的距離

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米(如圖所示),旗桿底部與第一

排在一個水平面上.已知國歌長度約為50

秒,升旗手勻速升旗的速度為

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A.(米/秒)     B.(米/秒)    C.(米/秒)   D.(米/秒)

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7.已知P是橢圓上的一點,是該橢圓的兩個焦點,若的內(nèi)切圓半徑為,則的值為

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A.         B.           C.            D.0

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8.已知數(shù)列的各項均不等于,此數(shù)列前項的和為,且滿足,則滿足條件的數(shù)列共有

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A.個            B.個             C.個            D.

第II卷

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二.填空題:本大題共7小題,每小題5分(第14題第一空2分,第二空3分,第15題第一空3分,第二空2分),共35分.把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.

9.的值是

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10.若向量共線,則

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11.為了了解某校高中學(xué)生的近視眼發(fā)病率,在該校學(xué)生中進(jìn)行分層抽樣調(diào)查,已知該校高一、高二、高三分別有學(xué)生名、名、名,若高三學(xué)生共抽取名,則高一年級每一位學(xué)生被抽到的概率是

12.已知滿足約束條件的最小值

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13.雙曲線以一正方形兩頂點為焦點,另兩頂點在雙曲線上,則其離心率為

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14.連結(jié)正多面體各個面的中心,得到一個新的正多面體,我們稱這個新正多面體為原多面體的正子體.一正方體的表面積為,它的正子體為,表面積為,的正子體為,表面積為如此下去,記第個正子體的表面積為.則(i);(ii)

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15.已知:對于給定的及映射.若集合,且中所有元

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素對應(yīng)的象之和大于或等于,則稱為集合A的好子集.

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① 對于,映射,那么集合A的所有好子集的個數(shù)為 4 ;

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② 對于給定的,映射的對應(yīng)關(guān)系如下表:

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1

2

3

4

5

6

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1

1

1

1

1

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若當(dāng)且僅當(dāng)中含有和至少A中2個整數(shù)或者中至少含有A中5個整數(shù)時,為集合A的好子集.寫出所有滿足條件的有序數(shù)組

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三.解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

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已知函數(shù).

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(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

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(2)當(dāng)時,若,函數(shù)的值域是,求實數(shù)的值.

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解:.………………………4分

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(1)當(dāng)時,,

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當(dāng)時,是增函數(shù),

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所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………8分

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(2)由, .因為

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所以當(dāng)時,取最小值3,即.當(dāng)時,

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取最大值4,即.將代入得. ………………………12分

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17.(本小題滿分12分)

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2009年上期末長沙市雅禮中學(xué)決定對高一年級物理學(xué)科進(jìn)行階段性檢測,檢測方案為:考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道,若能至少正確完成其中的2道便可通過檢測,并獲得1個學(xué)分.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每道題正確完成的概率都是,且每道題正確完成與否互不影響.

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(1)記甲、乙考生正確完成的題數(shù)分別為,求的分布列;

(2)試比較甲、乙兩考生獲得1個學(xué)分的解題能力的強弱,并說明理由.

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解:(1)設(shè)考生甲、乙正確完成題目的個數(shù)分別為、,

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取值分別為1,2,3;取值分別為0,1,2,3       ………1分

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∴考生甲正確完成題數(shù)的概率分布列為

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1

2

3

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……………………………………………………………4分

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,,,

∴考生乙正確完成題數(shù)的概率分布列為:

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0

1

2

3

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………………………………………8分

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(2)∵,

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,

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(或),∴

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另解:∵,

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. 從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察,兩人水平相當(dāng).從做對題數(shù)的方差考察,甲較穩(wěn)定.從至少完成2題的概率考察,甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的解題能力較強.   …………………………………………………………12分

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18.(本小題滿分12分)

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如圖所示,已知直四棱柱中,,,且滿足

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   (1)求證:平面

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(2)求二面角的余弦值.

解:法一:

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(1)設(shè)的中點,連結(jié),

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則四邊形為正方形,.故,,,

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,即

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,

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平面,………………6分

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(2)由(I)知平面,

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平面,

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的中點, 連結(jié),又,

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.取的中點,連結(jié),則,

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為二面角的平面角.

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連結(jié),在中,,

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的中點,連結(jié),,在中,

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,

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二面角的余弦值為.   …………………………………………12分

法二:

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(1)以為原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示

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的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,

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,,

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,

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,

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又因為

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所以,平面.………………6分

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(2)設(shè)為平面的一個法向量.

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,,,得

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,則.又,

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設(shè)為平面的一個法向量,由,

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,則,

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設(shè)的夾角為,二面角,顯然為銳角,

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,即為所求.   ……………………12分

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19.(本小題滿分13分)

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設(shè)數(shù)列滿足:

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(1)求并求的通項公式;

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(2)求證:

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解:(1).  ………………………………………………………………2分

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.……………………………………………………5分

用數(shù)學(xué)歸納法證明之(略). ……………………………………………………………7分

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(2)因為,…………………11分

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所以.命題得證.…………………13分

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20.(本小題滿分13分)

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已知,動點M滿足

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(1)求動點的軌跡的方程;

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(2)若直線,且軌跡上存在不同 

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兩點關(guān)于直線對稱.

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①求直線斜率的取值范圍;

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②是否可能有四點共圓?若可能,求實    

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數(shù)取值的集合;若不可能,請說明理由.

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解:(1)設(shè)動點的坐標(biāo)為,則,

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,得,

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化簡得(當(dāng)時也滿足).

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顯然,動點在線段的中垂線的左側(cè),且,故軌跡的方程為

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.  ………………………………………………………………5分

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(2)設(shè),,中點

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由點差法有 ;即

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,所以,

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①由, 得,

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.………………………………9分

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②設(shè)直線的方程為,代入  

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所以 ,,

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四點共圓,則,由到角公式可得

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 ,即,

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,即

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又由得,;所以,即

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此外時,存在,關(guān)于直線對稱,

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且滿足四點共圓. 故可能有四點共圓,此時

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.             …………………………………………………………13分

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21.(本小題滿分13分)

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已知函數(shù)

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(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;

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(2)當(dāng)時,設(shè)的反函數(shù),令,是否存在這樣的實數(shù)b,使得不等式對任意的和任意的x恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說明理由.

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解:(1)因為,且

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所以,①當(dāng)時,,故上的增函數(shù);

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②當(dāng)時,,故上的減函數(shù);

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③當(dāng)時,令,則,

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所以當(dāng)時得

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,

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所以上單調(diào)遞減.

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同理可得上單調(diào)遞增.

綜合以上得(略).   ……………………………………………………………………6分

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(2),∴,∴

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,

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∴g=nn>-1).

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構(gòu)造函數(shù)F=n

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因為所以

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,則x上是減函數(shù);

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,則x上是增函數(shù);

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上是連續(xù)函數(shù),所以當(dāng)取最小值,

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=ln

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=ln=ln

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ln

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因為∈[3,4]所以,即上為增函數(shù),

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所以,所以若使恒成立,只需

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所以存在這樣的實數(shù),對任意的x時,不等式ln(1+x)>x-ax2+b恒成立. ………………………………………………………13分

 

 

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