題目列表(包括答案和解析)
如圖,是△的重心,、分別是邊、上的動點,且、、三點共線.
(1)設,將用、、表示;
(2)設,,證明:是定值;
(3)記△與△的面積分別為、.求的取值范圍.
(提示:
【解析】第一問中利用(1)
第二問中,由(1),得;①
另一方面,∵是△的重心,
∴
而、不共線,∴由①、②,得
第三問中,
由點、的定義知,,
且時,;時,.此時,均有.
時,.此時,均有.
以下證明:,結合作差法得到。
解:(1)
.
(2)一方面,由(1),得;①
另一方面,∵是△的重心,
∴. ②
而、不共線,∴由①、②,得
解之,得,∴(定值).
(3).
由點、的定義知,,
且時,;時,.此時,均有.
時,.此時,均有.
以下證明:.(法一)由(2)知,
∵,∴.
∵,∴.
∴的取值范圍
已知數(shù)列的前項和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設 (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結論。
解:(Ⅰ)當時,由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對偶式)設,,
則.又,也即,所以,也即,又因為,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學歸納法)①當時, ,命題成立;
②假設時,命題成立,即,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
將編號為1,2,…,9的九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上,每個等分點上各有一個小球.設圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為要S.求使S達到最小值的放法的概率.(注:如果某種放法,經(jīng)旋轉或鏡面反射后可與另一種放法重合,則認為是相同的放法)
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