廣東省東莞市2009屆高三理科數(shù)學(xué)模擬試題(一)

                       命題人：東莞中學(xué)  龐進(jìn)發(fā)            2009.3.10

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合要求的．

1．下列四個(gè)函數(shù)中，在（0，1）上為增函數(shù)的是

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A．       B．   C．       D．

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2．如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為

A．－2            B．1              C．2              D．1或 －2

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3．已知，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為

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A．     B．     C．    D．

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4．下圖是2008年在鄭州舉行的全國少數(shù)民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上，七 位評委為某民族舞蹈打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為

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A．，          B．，     

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C．，             D．，

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5．已知函數(shù)的反函數(shù)滿足，則的最小值為

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    A．1              B．              C．            D．

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6．如右圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正三角形，俯視圖是一個(gè)圓，那么幾何體的側(cè)面積為

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   A．          B.

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C.          D.

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7．兩個(gè)正數(shù)、的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且則雙曲線的離心率為

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A．                      B．                C．                  D．

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8．已知，直線和曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍成的平面區(qū)域?yàn)?sub>，向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在區(qū)域內(nèi)的概率為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

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A．            B．           　C．         D．

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二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分．

9．在的展開式中，的系數(shù)是            .（用數(shù)字作答）

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10．一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積為0的概率             .

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11．如圖，該程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為           .

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12．已知點(diǎn)滿足條件

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的最大值為8， 

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則       .

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13．（幾何證明選講選做題）如圖，AD是⊙的切線，AC是  

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⊙的弦，過C做AD的垂線，垂足為B，CB與⊙相

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交于點(diǎn)E，AE平分，且，則       ，   

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         ，         .

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14．(參數(shù)方程與極坐標(biāo)選做題)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直

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線的距離為         ．

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15. （不等式選講選做題）函數(shù) 的最

大值為         .

 

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三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16. （12分）設(shè)函數(shù)．

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（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

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（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為2，求的值，并求出的對稱軸方程．

 

 

 

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17. （12分）某公司有10萬元資金用于投資，如果投資甲項(xiàng)目，根據(jù)市場分析知道：一年后可能獲利10?，可能損失10?，可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；如果投資乙項(xiàng)目，一年后可能獲利20?，也可能損失20?，這兩種情況發(fā)生的概率分別為.

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（1）如果把10萬元投資甲項(xiàng)目，用表示投資收益（收益=回收資金-投資資金），求的概率分布及；

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（2）若把10萬元投資投資乙項(xiàng)目的平均收益不低于投資甲項(xiàng)目的平均收益，求的取值范圍.

 

 

 

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18.（14分） 已知圓方程為：.

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（1）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

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（2）過圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.

 

 

 

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    • 
   
    
    
    
    
    
       （1）求證：D1E⊥A1D；   
    （2）求AB的長度；
       （3）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得二面角
    

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    。若存在，確定
    點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由.
     
     
     
     
     
     
    

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    20．（14分）已知，，.
    

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    （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
    

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    （2）求在點(diǎn)處的切線與直線及曲線所圍成的封閉圖形的面積；
    

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    （3）是否存在實(shí)數(shù)，使的極大值為3？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
     
     
     
     
     
    

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    21. （14分）設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和滿足，且，S2=6；函數(shù)，且
       （1）求A；  
    

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    （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
    

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       （3）若
     
     
     
     
     
     
    東莞市2009屆高三理科數(shù)學(xué)模擬試題(一)
    

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    一、選擇題（每小題5分，共40分）
    題號
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    答案
    A
    A
    C
    D 
    C
    A
    B
    D
    二、填空題（每小題5分，共30分）
    9.84； 10.；  11.45；  12. -6；  13.；  14.；  15.3
    三、解答題（共80分．解答題應(yīng)寫出推理、演算步驟）
    16. 解：（1）  
    則的最小正周期，      ……………………………4分
    且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增．
    即為的單調(diào)遞增區(qū)間（寫成開區(qū)間不
    扣分）．…………6分
    （2）當(dāng)時(shí)，
    當(dāng)，即時(shí)．
    所以．      ……………9分
    為的對稱軸．      ……12分
    17. 解：（1）依題意，的可能取值為1，0，-1     
………1分
    的分布列為           
…4分
    1
    0
    p
    ==…………6分
    （2）設(shè)表示10萬元投資乙項(xiàng)目的收益，則的分布列為……8分
    2
    …………10分
    依題意要求…  11分
    ∴………12分    
    注：只寫出扣1分
    18. 解：（1）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為   滿足題意   ………1分
    ②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即     

    設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得  …………3分        
    ∴，，                                    

    故所求直線方程為                               

    綜上所述，所求直線為或   …………7分                  

    （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)坐標(biāo)為
    則點(diǎn)坐標(biāo)是                     
 …………9分
    ∵，
    ∴  即，    …………11分          

    又∵，∴                     

     ∴點(diǎn)的軌跡方程是，              
…………13分     

    軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在軸上的橢圓，除去短軸端點(diǎn)。    …………14分     
    19.解一：（1）證明：連結(jié)AD1，由長方體的性質(zhì)可知：
    AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
    平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，  
    ∴AD1⊥A1D    
    ∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）        4分
    （2）設(shè)AB=x，∵四邊形ADD1A是正方形，
    ∴小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到
    點(diǎn)C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為
    如圖乙的最短路程為
        
    ………………9分
    （3）假設(shè)存在，平面DEC的法向量，
    設(shè)平面D1EC的法向量，則     

    …………………12分
    由題意得：
    解得：（舍去）
    ………14分
    20. 解：（1）當(dāng).…（1分）
              
……（3分）
    ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為：，. 
    ……（4分）
    （2）切線的斜率為， 
    ∴ 切線方程為.……（6分）
               
所求封閉圖形面積為
    .   
    ……（8分）
    （3），     ……（9分）
               
令.                  
      ……（10分）
    列表如下：
    x
    (－∞，0)
    0
    （0，2－a）
    2－a
    (2－a，+ ∞)
    －
    0
    +
    0
    －
    ㄋ
    極小
    ㄊ
    極大
    ㄋ
    由表可知，.          
……（12分）
    設(shè)，
    ∴上是增函數(shù)，……（13分）
               
∴
，即，
    ∴不存在實(shí)數(shù)a，使極大值為3.           
……（14）
    21.解：（1）由   而
      解得A=1……………………………………2分
    （2）令   
    當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn-1=n2+n
    綜合之：an=2n…………………………………………6分
    由題意
    ∴數(shù)列{cn+1}是為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列。
    ………………………9分
    （3）當(dāng)
    ………………………11分
    當(dāng)
    ………13分
    綜合之：
    ………14分
     
     
    
				
	
    
		
    


    同步練習(xí)冊答案