（幾何證明選講選做題）
如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C做AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點E，AE平分∠CAB，且AE=2，則AB=    ．

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（2013•東莞一模）（幾何證明選講選做題）
如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C做AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點E，AE平分∠CAB，且AE=2，則AB=

3

3

．

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在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，CP是圓O的切線，P為切點，直線CO交圓O于A，B兩點，AD⊥CP，垂足為D．
求證：∠DAP=∠BAP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a＞0，b＞0，若矩陣A=

.

a 0 0 b

.

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦長為2

3

求實數(shù)a的值．
D．選修4-5：不等式選講已知a，b是正數(shù)，求證：a²+4b²+

1

ab

≥4．

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選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A、（不等式選講）若關(guān)于x的方程x²+4x+|a-1|=0有實根，則實數(shù)a的取值范圍為   
B、（幾何證明選講）如圖，AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦，過C作AD的垂線，垂足為B，CB與⊙O相交于點E，AE平分∠CAB，且AE=2，則AC=     
C、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知直線（t為參數(shù)）與圓相交于A、B兩點，則|AB|=    ．

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一、選擇題（每小題5分，共40分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

A

C

D

C

A

B

D

二、填空題（每小題5分，共30分）

9.84； 10.；  11.45；  12. -6；  13.；  14.；  15.3

三、解答題（共80分．解答題應(yīng)寫出推理、演算步驟）

16. 解：（1） 

則的最小正周期，      ……………………………4分

且當(dāng)時單調(diào)遞增．

即為的單調(diào)遞增區(qū)間（寫成開區(qū)間不

扣分）．…………6分

（2）當(dāng)時，

當(dāng)，即時．

所以．      ……………9分

為的對稱軸．      ……12分

17. 解：（1）依題意，的可能取值為1，0，-1      ………1分

的分布列為            …4分

1

0

p

==…………6分

（2）設(shè)表示10萬元投資乙項目的收益，則的分布列為……8分

2

…………10分

依題意要求…  11分

∴………12分   

注：只寫出扣1分

18. 解：（1）①當(dāng)直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標(biāo)為和，其距離為   滿足題意   ………1分

②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即     

設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得  …………3分       

∴，，                                    

故所求直線方程為                               

綜上所述，所求直線為或   …………7分                  

（2）設(shè)點的坐標(biāo)為（），點坐標(biāo)為

則點坐標(biāo)是                       …………9分

∵，

∴  即，    …………11分          

又∵，∴                     

 ∴點的軌跡方程是，               …………13分     

軌跡是一個焦點在軸上的橢圓，除去短軸端點。    …………14分     

_{19.解一：（1）證明：連結(jié)AD1，由長方體的性質(zhì)可知：}

_{AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在}

_{平面AD1內(nèi)的射影。又∵AD=AA1=1，} 

_∴AD1⊥A1D   

_{∴D1E⊥A1D1（三垂線定理）        4分}

_{（2）設(shè)AB=x，∵四邊形ADD1A是正方形，}

_{∴小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到}

_{點C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為}

_{如圖乙的最短路程為}

_{………………9分}

_{（3）假設(shè)存在，平面DEC的法向量，}

_{設(shè)平面D1EC的法向量，則}     

…………………12分

_{由題意得：}

_{解得：（舍去）}

………14分

20. 解：（1）當(dāng).…（1分）

           ……（3分）

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為：，.

……（4分）

（2）切線的斜率為，

∴ 切線方程為.……（6分）

            所求封閉圖形面積為

.  

……（8分）

（3），     ……（9分）

            令.                         ……（10分）

列表如下：

x

(－∞，0)

0

（0，2－a）

2－a

(2－a，+ ∞)

－

0

+

0

－

ㄋ

極小

ㄊ

極大

ㄋ

由表可知，.           ……（12分）

設(shè)，

∴上是增函數(shù)，……（13分）

            ∴ ，即，

∴不存在實數(shù)a，使極大值為3.            ……（14）

_{21.解：（1）由}   而

  解得A=1……………………………………2分

（2）令  

當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2,當(dāng)n≥2時，a_n=S_n－S_n-1=n²+n

綜合之：a_n=2n…………………………………………6分

由題意

∴數(shù)列{c_n+1}是為公比，以為首項的等比數(shù)列。

………………………9分

（3）當(dāng)

………………………11分

當(dāng)

………13分

綜合之：

………14分