試卷類型：A

唐山市2008―2009學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試

理科數(shù)學(xué)試卷

說明：

    四、考試結(jié)束后，將本試卷與原答題卡一并交回．

如果事件、互斥，那么                   球的表面積公式

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                     其中表示球的半徑

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如果事件、相互獨(dú)立，那么                球的體積公式

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                         其中表示球的半徑

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如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，

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那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率：

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．

(1)復(fù)數(shù) （    ）

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(A)    (B)      (C)   (D)

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(2)已知，，，則（    ）

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(A)    (B)  

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(C)     (D)

(3)球的一個(gè)截面是半徑為3的圓，球心到這個(gè)截面的距離是4，則該球的表面積是（    ）

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(A)    (B)   (C)     (D)

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(4)圓與圓的公切線共有（    ）

(A)1條    (B)2條    (C)3條    (D)4條

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(5)已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的取值范圍是（    ）

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(A)    (B)    (C)     (D)

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(6)函數(shù)的反函數(shù)為（    ）

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(A)      (B)  

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(C)           (D)

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(7)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為（    ）

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(A)  (B)    (C)     (D)

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(8)若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)可能是（    ）

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(A)  (B)  

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  (C)     (D)

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(9)設(shè)、、為三個(gè)不同的平面，、為兩條不同的直線，在

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①，，；  ②，，；

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③，，；       ④，，

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中，是的充分條件的為（    ）

(A) ①②    (B)②④    (C)②③    (D) ③④

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(10)已知函數(shù)，則使得的的取值范圍是（    ）

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(A)     (B)     (C)      (D)

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(11)已知是第一象限的角，且，那么（    ）

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(A)     (B)     (C)      (D)

(10)從5種不同的水果和4種不同的糖果中各選出3種，放入如圖所示的6個(gè)不同區(qū)域（用數(shù)字表示）中拼盤，每個(gè)區(qū)域只放一種，且水果不能放在有公共邊的相鄰區(qū)域內(nèi)，則不同的放法有（    ）

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(A) 種    (B) 種    (C) 種     (D) 種

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二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上．

(13)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則     。

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(14)的展開式中的系數(shù)是            ．(用數(shù)字作答)

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(15)、(為原點(diǎn))是圓的兩條互相垂直的半徑，是該圓上任一點(diǎn)，且，則           ．

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(16)如圖，直四棱柱的底面是直角梯形，，，，，是的中點(diǎn)，則與面所成角的大小為             ．

 

 

 

 

 

 

 

 

(17)(本小題滿分10分)

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三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

在中，，，是的中點(diǎn)，將表示為角的函數(shù)，并求這個(gè)函數(shù)的值域．

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(18)(本小題滿分12分)

商家對(duì)某種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)，顧客每購買一件該商品就即刻抽獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)額度如下：

 

獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)

一等獎(jiǎng)

二等獎(jiǎng)

所占比例

10%

30%

獎(jiǎng)金數(shù)（元）

100

20

一顧客購買該商品2件，求：

(Ⅰ)該顧客中獎(jiǎng)的概率；

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(Ⅱ)該顧客獲得獎(jiǎng)金數(shù) (元)的概率分布和期望．

(19)(本小題滿分12分)

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       如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是等腰三角形且垂直于底面，，，、分別是、的中點(diǎn)。

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（Ⅰ）求證：；

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（Ⅱ）求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

(20)(本小題滿分12分)

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    已知函數(shù)，其中．

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    (Ⅰ)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

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(Ⅱ)求證：，，為自然對(duì)數(shù)的底。

(21)(本小題滿分12分)

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       已知是雙曲線的上支，曲線在任一點(diǎn)處的切線為，其中、 分別在直線和上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，其中．

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    (Ⅰ)求曲線的方程；

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(Ⅱ)過原點(diǎn)作直線分別交曲線和于點(diǎn)、，設(shè)，求證為定值．

(22)(本小題滿分12分)

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設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．

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    (Ⅰ)求、的值及的表達(dá)式；

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(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和．

 

 

 

唐山市2008~2009學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試

試題詳情

一、選擇題:

A卷：CCABD    BDCBB    AA

二、填空題：

(13)        (14)    (15)    (16)

三、解答題：

(17)解：

由，知，又，由正弦定理，有

，∴，，……3分

∴  ……………5分

        

         …………8分

∵，，  ∴，

故所求函數(shù)為，函數(shù)的值域?yàn)?sub>……………10分

（18）解：

      記顧客購買一件產(chǎn)品，獲一等獎(jiǎng)為事件，獲二等獎(jiǎng)為事件，不獲獎(jiǎng)為事件，則，，

（Ⅰ）該顧客購買2件產(chǎn)品，中獎(jiǎng)的概率

  ……………4分

  （Ⅱ）的可能值為0，20，40，100，120，200，其中

        ，，

         ，，

        ，……………8分

的分布列為

                                                                ……………10分

的期望

（元）…………………………………………………………………12分

（19）解法一：

      （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)、，則，

       又， ∴，四邊形是平行四邊形，

       ∴，又，，

       ∴ ……………………………………………………4分

      （Ⅱ）連結(jié)

        ∵，  ∴，

       又平面平面，∴

      而，  ∴

     作于，則，且，為的中點(diǎn)。

作于，連結(jié)，則，

 于是為二面角的平面角�！�8分

∵，，∴，

在正方形中，作于，則

，

∴，∴。

故二面角的大小為…………………………12分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

解法二：如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使軸，、分別在軸、軸上。

（Ⅰ）由已知，，，，，，，

∴， ，，

∵， ∴，

又，∴   ………………………………………4分

（Ⅱ）設(shè)為面的法向量，則，且。

∵，，

∴，取，，，則 ……………8分

又為面的法向量，所以，

因?yàn)槎娼?sub>為銳角，所以其大小為…………………………12分

（20）解：

     （Ⅰ）  ……………………………………………………1分

      （1）當(dāng)時(shí)，由，知，在單調(diào)遞增
         而，則不恒成立…………………………3分

       （2）當(dāng)時(shí)，令，得

           當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)， ，單調(diào)遞減，在處取得極大值。

   由于，所以，解得，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)恒成立。

綜上，所求的值為   …………………………7分

（Ⅱ）等價(jià)于，

下證這個(gè)不等式成立。

由（Ⅰ）知，即，……………9分

∴

…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）曲線方程可寫為，

設(shè)，則，又設(shè)、、

曲線在點(diǎn)處的切線斜率，則切線方程為，

即，亦即…………………………3分

分別將、坐標(biāo)代入切線方程得，

∴，

由，得

，  ①

，  ②

∴ ……………7分

∵，∴，

則由②式得。

從而曲線的方程為…………………………8分

（Ⅱ）軸與曲線、交點(diǎn)分別為、，此時(shí)……9分

當(dāng)、不在軸上時(shí)，設(shè)直線方程為。

若，則、在第一象限，

由，得，由得，

∴………………………………………11分

因?yàn)榍�和都關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，仍有

綜上，題設(shè)的為定值…………………………12分

（22）解：

      （Ⅰ）由，且，得

當(dāng)時(shí)， ，解得；

當(dāng)時(shí)，，解得

猜想：……………………………………………………2分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下

（1）       當(dāng)時(shí)，命題顯然成立。………………………………………3分

（2）       假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即，那么

         由，得

       

              于是，當(dāng)時(shí)命題仍然成立………………………………………6分

根據(jù)（1）和（2），對(duì)任何，都有…………………………7分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，且對(duì)于也成立。

因此，

對(duì)于，由，得

，……………10分

，

綜上，………………………………………12分

 

 

 


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