(Ⅰ)求證:, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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（Ⅰ）求證：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左邊可求得x2的系數(shù)為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數(shù)為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）求證：
sinx
1-cosx
=
1+cosx
sinx
；
（Ⅱ）化簡：
tan(3π-α)
sin(π-α)sin(
3
2
π-α)
+
sin(2π-α)cos(α-
7π
2
)
sin(
3π
2
+α)cos(2π+α)
．

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一、選擇題:

A卷：CCABD    BDCBB    AA

二、填空題：

(13)        (14)    (15)    (16)

三、解答題：

(17)解：

由，知，又，由正弦定理，有

，∴，，……3分

∴  ……………5分

        

         …………8分

∵，，  ∴，

故所求函數(shù)為，函數(shù)的值域為……………10分

（18）解：

      記顧客購買一件產(chǎn)品，獲一等獎為事件，獲二等獎為事件，不獲獎為事件，則，，

（Ⅰ）該顧客購買2件產(chǎn)品，中獎的概率

  ……………4分

  （Ⅱ）的可能值為0，20，40，100，120，200，其中

        ，，

         ，，

        ，……………8分

的分布列為

                                                                ……………10分

的期望

（元）…………………………………………………………………12分

（19）解法一：

      （Ⅰ）取中點，連結、，則，

       又， ∴，四邊形是平行四邊形，

       ∴，又，，

       ∴ ……………………………………………………4分

      （Ⅱ）連結

        ∵，  ∴，

       又平面平面，∴

      而，  ∴

     作于，則，且，為的中點。

作于，連結，則，

 于是為二面角的平面角�！�8分

∵，，∴，

在正方形中，作于，則

，

∴，∴。

故二面角的大小為…………………………12分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

解法二：如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，使軸，、分別在軸、軸上。

（Ⅰ）由已知，，，，，，，

∴， ，，

∵， ∴，

又，∴   ………………………………………4分

（Ⅱ）設為面的法向量，則，且。

∵，，

∴，取，，，則 ……………8分

又為面的法向量，所以，

因為二面角為銳角，所以其大小為…………………………12分

（20）解：

     （Ⅰ）  ……………………………………………………1分

      （1）當時，由，知，在單調(diào)遞增
         而，則不恒成立…………………………3分

       （2）當時，令，得

           當時，，單調(diào)遞增；時， ，單調(diào)遞減，在處取得極大值。

   由于，所以，解得，即當且僅當時恒成立。

綜上，所求的值為   …………………………7分

（Ⅱ）等價于，

下證這個不等式成立。

由（Ⅰ）知，即，……………9分

∴

…………………………12分

（21）解：

（Ⅰ）曲線方程可寫為，

設，則，又設、、

曲線在點處的切線斜率，則切線方程為，

即，亦即…………………………3分

分別將、坐標代入切線方程得，

∴，

由，得

，  ①

，  ②

∴ ……………7分

∵，∴，

則由②式得。

從而曲線的方程為…………………………8分

（Ⅱ）軸與曲線、交點分別為、，此時……9分

當、不在軸上時，設直線方程為。

若，則、在第一象限，

由，得，由得，

∴………………………………………11分

因為曲線和都關于軸對稱，所以當時，仍有

綜上，題設的為定值…………………………12分

（22）解：

      （Ⅰ）由，且，得

當時， ，解得；

當時，，解得

猜想：……………………………………………………2分

用數(shù)學歸納法證明如下

（1）       當時，命題顯然成立。………………………………………3分

（2）       假設當時命題成立，即，那么

         由，得

       

              于是，當時命題仍然成立………………………………………6分

根據(jù)（1）和（2），對任何，都有…………………………7分

（Ⅱ）當時，，且對于也成立。

因此，

對于，由，得

，……………10分

，

綜上，………………………………………12分

 

 

 


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