2009年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)解題思維專(zhuān)題講座之一
數(shù)學(xué)思維的變通性
一、概念
數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化,要想既快又準(zhǔn)的解題,總用一套固定的方案是行不通的,必須具有思維的變通性――善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí),提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn),本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練:
(1)善于觀察
心理學(xué)告訴我們:感覺(jué)和知覺(jué)是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式,而觀察則是知覺(jué)的高級(jí)狀態(tài),是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺(jué)。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑,它是了解問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的前提。
任何一道數(shù)學(xué)題,都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它,就必須依據(jù)題目的具體特征,對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察,然后認(rèn)真思考,透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì),這樣才能確定解題思路,找到解題方法。
例如,求和.
這些分?jǐn)?shù)相加,通分很困難,但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù),且,因此,原式等于問(wèn)題很快就解決了。
(2)善于聯(lián)想
聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系,都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此,解題的方法怎樣、速度如何,取決于能否由觀察到的特征,靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí),做出相應(yīng)的聯(lián)想,將問(wèn)題打開(kāi)缺口,不斷深入。
例如,解方程組.
這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為,這兩個(gè)數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理,、是一元二次方程 的兩個(gè)根,
所以或.可見(jiàn),聯(lián)想可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。
(3)善于將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化
數(shù)學(xué)家G . 波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò):數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換?梢(jiàn),解題過(guò)程是通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢?概括地講,就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題,把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體問(wèn)題,把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。在解題時(shí),觀察具體特征,聯(lián)想有關(guān)問(wèn)題之后,就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。
例如,已知,,
求證、、三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。
恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問(wèn)題變得熟悉、簡(jiǎn)單。要證的結(jié)論,可以轉(zhuǎn)化為:
思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性,即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問(wèn)題以后,往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問(wèn)題。它表現(xiàn)就是記類(lèi)型、記方法、套公式,使思維受到限制,它是提高思維變通性的極大的障礙,必須加以克服。
綜上所述,善于觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化,是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性,必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。
二、思維訓(xùn)練實(shí)例
例1 已知都是實(shí)數(shù),求證
思路分析 從題目的外表形式觀察到,要證的
結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似,而
左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn),
可采用下面巧妙而簡(jiǎn)捷的證法,這正是思維變通的體現(xiàn)。
證明 不妨設(shè)如圖1-2-1所示,
則
在中,由三角形三邊之間的關(guān)系知:
當(dāng)且僅當(dāng)O在AB上時(shí),等號(hào)成立。
因此,
思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題,馬上想到采用分析法、綜合法等,而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒(méi)能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因,是對(duì)這個(gè)公式不熟,進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此,平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。
例2 已知,試求的最大值。
解 由 得
又
當(dāng)時(shí),有最大值,最大值為
思路分析 要求的最大值,由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值,聯(lián)系到,這一條件,既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件,體現(xiàn)了思維的變通性。
思維障礙 大部分學(xué)生的作法如下:
由 得
當(dāng)時(shí),取最大值,最大值為
這種解法由于忽略了這一條件,致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此,要注意審題,不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn),而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件,既要注意主要的已知條件,
又要注意次要條件,這樣,才能正確地解題,提高思維的變通性。
有些問(wèn)題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。
例3 已知二次函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系
,試比較與的大小。
思路分析 由已知條件可知,在與左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等,說(shuō)明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),又由
已知條件知它的開(kāi)口向上,所以,可根據(jù)該函數(shù)的大致
圖像簡(jiǎn)捷地解出此題。
解 (如圖1-2-2)由,
知是以直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸,開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)
它與距離越近的點(diǎn),函數(shù)值越小。
思維障礙 有些同學(xué)對(duì)比較與的大小,只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的表達(dá)式不確定無(wú)法代值,所以無(wú)法比較。出現(xiàn)這種情況的原因,是沒(méi)有充分挖掘已知條件的含義,因而思維受到阻礙,做題時(shí)要全面看問(wèn)題,對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲,找出它的真正含義,這樣才能順利解題。提高思維的變通性。
(2) 聯(lián)想能力的訓(xùn)練
例4 在中,若為鈍角,則的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定
思路分析 此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此,聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。
解 為鈍角,.在中
且
故應(yīng)選擇(B)
思維障礙 有的學(xué)生可能覺(jué)得此題條件太少,難以下手,原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固,不能準(zhǔn)確把握公式的特征,因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。
例5 若
思路分析 此題一般是通過(guò)因式分解來(lái)證。但是,如果注意觀察已知條件的特點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是,我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來(lái)證題。
證明 當(dāng)時(shí),等式
可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件,在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程,它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ,根據(jù)韋達(dá)定理就有:
即
若,由已知條件易得 即,顯然也有.
例6 已知均為正實(shí)數(shù),滿(mǎn)足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù),求證:
思路分析 由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊,進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。
證明 設(shè)所對(duì)的角分別為、、則是直角,為銳角,于是
且
當(dāng)時(shí),有
于是有
即
從而就有
思維阻礙 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題,一些學(xué)生都會(huì)想到用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明,難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想,原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系,單純學(xué)代數(shù),學(xué)幾何,因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來(lái)。
(3) 問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練
我們所遇見(jiàn)的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí),不僅要先觀察具體特征,聯(lián)想有關(guān)知識(shí),而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的,簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,往往使問(wèn)題很快得到解決,所以,進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。
1 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目
例11 已知求證、、中至少有一個(gè)等于1。
思路分析 結(jié)論沒(méi)有用數(shù)學(xué)式子表示,很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示,轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。、、中至少有一個(gè)為1,也就是說(shuō)中至少有一個(gè)為零,這樣,問(wèn)題就容易解決了。
證明
于是
中至少有一個(gè)為零,即、、中至少有一個(gè)為1。
思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫,左變右變,還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子,把陌生問(wèn)題變?yōu)槭煜?wèn)題。因此,多練習(xí)這種“翻譯”,是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。
例12 直線(xiàn)的方程為,其中;橢圓的中心為,焦點(diǎn)在軸上,長(zhǎng)半軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為,問(wèn)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn),它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。
思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知,四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線(xiàn)
(1)
是,又從已知條件可得橢圓的方程為
(2)
因此,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組(1)、(2)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí),求的取值范圍。將(2)代入(1)得:
(3)
確定的范圍,實(shí)際上就是求(3)有兩個(gè)不等正根的充要條件,解不等式組:
在的條件下,得
本題在解題過(guò)程中,不斷地把問(wèn)題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題:解方程組和不等式組的問(wèn)題。
2 逆向思維的訓(xùn)練
逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考,而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問(wèn)題的正面考慮有阻礙時(shí),應(yīng)考慮問(wèn)題的反面,從反面入手,使問(wèn)題得到解決。
例13 已知函數(shù),求證、、中至少有一個(gè)不小于1.
思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”,它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣,或以否定形式給出時(shí),一般可考慮采用反證法。
證明 (反證法)假設(shè)原命題不成立,即、、都小于1。
則
①+③得 ,
與②矛盾,所以假設(shè)不成立,即、、中至少有一個(gè)不小于1。
3 一題多解訓(xùn)練
由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問(wèn)題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同,因而,同一問(wèn)題可能得到幾種不同的解法,這就是“一題多解”。通過(guò)一題多解訓(xùn)練,可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,提高數(shù)學(xué)思維的變通性。
例14 已知復(fù)數(shù)的模為2,求的最大值。
解法一(代數(shù)法)設(shè)
解法二(三角法)設(shè)
則
解法三(幾何法)
如圖1-2-3 所示,可知當(dāng)時(shí),
解法四(運(yùn)用模的性質(zhì))
而當(dāng)時(shí),
解法五(運(yùn)用模的性質(zhì))
又
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