安慶二中高二數(shù)學期中考試試卷
命題人:余永安 (2009-4-17)
一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.曲線在點(1 ,)處切線的傾斜角為( )
A. B. C. D.
2.若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為( )
A. B.
C. D.
3.函數(shù)的圖象與x軸及直線圍成圖形(如圖陰影部分)的面積為,則( )
A. B. C. D.
4.下面推理過程是演繹推理的是( )
A.三角函數(shù)是周期函數(shù),是三角函數(shù),所以是周期函數(shù)
B.由圓在平面直角坐標系下的坐標方程,推測球在空間直角坐標系下的坐標方程
C.某校高三共有10個班,(1)班有51人,(2)班有53人,(3)班有52人,由此推測各班人數(shù)都超過50人
D.地球上有生命存在,因此火星上也可能有生命存在。
5.已知函數(shù)的圖象如右圖所示(其中是
函數(shù)的導函數(shù)),下面四個圖象中的圖
象大致是( )
6.函數(shù)的導數(shù)是( )
A. B.
C. D.
8、已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為,則切點橫坐標為1的切線方程是( B )
A、 B、 C、 D、
5、已知函數(shù),則( D )
A、4
B、
7.已知<< ,則( )
A. B. C. D.
8.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是( )
A. B. C. D.
9. 已知,若方程的兩個實數(shù)根可以分別作為一個橢圓和雙曲線的離心率,則( )
10.若方程有兩個實數(shù)解,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
11.已知函數(shù),則是 ( B )
A. 奇函數(shù) B . 偶函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 既奇又偶函數(shù)
12.定義在R上的函數(shù)滿足.為的導函數(shù),已知函數(shù)的圖象如右圖所示.若兩正數(shù)滿足,則的取值范圍是( C )
A. B. C. D.
二.填空題
13.已知集合,則 。
14.電動自行車的耗電量與速度這間的關系為,為使耗電量最小,則其速度應定為
15. 過點和曲線相切的直線方程為_____
16. 觀察下列不等式:≥,≥ ,≥,…,由此猜測第個不等式為 .()
三. 解答題(本大題共6個小題,共74分)
17.已知函數(shù)
(Ⅰ)證明:函數(shù)在上為增函數(shù);
(Ⅱ)證明:方程沒有負實數(shù)根.
18.已知函數(shù),(aR),設曲線在點(1 )處的切線為,若與圓C: 相切,求a的值
19已知函數(shù),.
(Ⅰ)求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)求由曲線及直線所圍封閉區(qū)域的面積.
20.(本題滿分14分)已知數(shù)列滿足,且
用數(shù)學歸納法證明:;
20.(本題滿分12分)統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為:
.已知甲、乙兩地相距100千米
(Ⅰ)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升?
(II)當汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
21.已知函數(shù)(其中且,為實數(shù)常數(shù)).
(1)若,求的值(用表示);
(2)若且對于恒成立,求實數(shù)m的取值范圍(用表示).
22.已知函數(shù)取得極小值.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)設直線. 若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件:
(1)直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;
(2)對任意x∈R都有. 則稱直線l為曲線S的“上夾線”.
試證明:直線是曲線的“上夾線”.
22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若對滿足的任意實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍(這里是自然對數(shù)的底數(shù));
(Ⅲ)求證:對任意正數(shù)、、、,恒有.
1-15 D AC AC A ABAA BC
13. 14.40 15.或
16.
17.證明:(Ⅰ)
函數(shù)在上為增函數(shù);
(Ⅱ)反證法:假設存在,滿足
則
這與矛盾,假設錯誤
故方程沒有負數(shù)根
18.解:依題意有:= a,
=2ax+ (x<2)
方程為=0
與圓相切 =
a=
19.解:(Ⅰ), ……………………………2分
∴, ……………………………3分
又, ……………………………4分
∴曲線在處的切線方程為, …………5分
即. …………………6分
(Ⅱ)由消去得,解得,,……7分
所求面積, …………9分
設,則, …………10分
∴
. ……………………12分
21.(1)當時,當時,.
由條件可知,,即解得
∵ ………….5分
(2)當時,
即
故m的取值范圍是 …………….12分
22. 解:(I)因為,所以 ----1分
,
解得, ------------------------3分
此時,
當時,當時, ----------5分
所以時取極小值,所以符合題目條件; ----------6分
(II)由得,
當時,,此時,,
,所以是直線與曲線的一個切點; -----8分
當時,,此時,,
,所以是直線與曲線的一個切點; -----------10分
所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;
對任意x∈R,,
所以
因此直線是曲線的“上夾線”. ---------------------14分
22.【解】(Ⅰ)
∴的增區(qū)間為,減區(qū)間為和.
極大值為,極小值為.…………4′
(Ⅱ)原不等式可化為由(Ⅰ)知,時,的最大值為.
∴的最大值為,由恒成立的意義知道,從而…8′
(Ⅲ)設
則.
∴當時,,故在上是減函數(shù),
又當、、、是正實數(shù)時,
∴.
由的單調(diào)性有:,
即.…………12′
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