2007年杭州市第一次高考科目教學質(zhì)量檢測

數(shù)學試題卷(理科)

考生須知:         

1. 本卷滿分150分, 考試時間120分鐘.

2. 答題前, 在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫學校、班級和姓名.

3. 所有答案必須寫在答題卷上, 寫在試題卷上無效.

4. 考試結(jié)束, 只需上交答題卷.

參考公式 

如果事件互斥,那么

如果事件相互獨立,那么 ;

如果事件在一次試驗中發(fā)生的概率是,那么次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率.

一. 選擇題 : 本大題共10小題, 每小題5分, 共50分. 在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的 .

1. 已知集合A ={ x | x <},B ={ x | x > 4 }, 則有 (      )

       (A) A∩B          (B) A∪B         (C) 2A∩B     (D) 2A∪B    

2. 下列各圖象表示的函數(shù)中,不存在反函數(shù)的是(   )

 

 

                          

 

 

 

 

                                                                                                                       

 

3.200件產(chǎn)品中有197件合格品,3件次品,現(xiàn)從中任意抽出5件,其中至少有2件次品的抽法有(    )

(A)+種 (B)種(C)種(D)

4. 一個電路上裝有甲、乙兩根熔絲,甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,甲、乙兩根熔絲熔斷相互獨立,則至少有一根熔斷的概率為(   )

(A)0.15×0.26=0.039           (B)1-0.15×0.26=0.961  

(C)0.85×0.74=0.629           (D)1-0.85×0.74=0.371

5 已知| a | = 3, | b | = 4, (a + b)?( a +3 b) = 33, 則a與b的夾角為  (    )

  (A)           (B)          (C)         (D)

6. 若z = +i, 且 ( x ? z ) 4 = a 0x 4 + a 1x 3 + a 2x2 + a 3x +a 4 , 則 a 2 等于(   )

   (A) ?+i   (B) ? 3 + i    (C) +i      (D) ? 3 ?i   

7. 已知三個不等式:(其中a,b,c,d均為實數(shù)),用其中兩個不等式作為條件,余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題,可組成的正確命題的個數(shù)是(    )

(A) 0                    (B) 1                     (C) 2                     (D) 3

8. 定義在R上的偶函數(shù)滿足,當x∈[3,4]時,,則有 (     )

  (A)              (B)

  (C)               (D)

9. 已知曲線在點P處切線與直線的夾角為450,那么點P坐標為(    )

(A)(? 1,1)   (B)    (C)       (D)

10. 已知滿足方程,則的最大值是(   )

(A)     (B) 2    (C) 4      (D)        .

二.填空題: 本大題有4小題, 每小題4分, 共16分. 把答案填在答題卷的相應(yīng)位置.

11.把函數(shù)f (x) = lg(1? x) 的圖象按向量a = (?1 ,0 )平移, 所得圖象的函數(shù)解析式是=                 .

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12. 在△ABC中, || = 2, || = 3 , || = , 則cosA=      .

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13. 若數(shù)列的通項公式,(n∈N*),則該數(shù)列的前n項和Sn  =                   。

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14.關(guān)于函數(shù),有下列命題:①周期是;②的圖像關(guān)于直線對稱;③的圖像關(guān)于點(,0)對稱;④在區(qū)間上單調(diào)遞減。其中正確命題的序號是                 .  

三. 解答題: 本大題有6小題, 每小題14分,共84分. 解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.

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15. (本小題滿分14分)

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設(shè), 求的值.

 

 

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16. (本小題滿分14分)

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   已知數(shù)列{an}的前項和Sn= n (2n?1),(n∈N*)

(1) 證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

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(2) 設(shè)數(shù)列{bn} 滿足bn=(n∈N*), 試判定: 是否存在自然數(shù)n, 使得bn = 900,若存在, 求出n的值;若不存在,說明理由;

 

 

 

 

 

 

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17.(本小題滿分14分)

某電信服務(wù)點有連成一排的7座電話亭,此時全都空著,現(xiàn)有2位陌生人各隨機選擇不同的一座電話亭打電話.

(1) 求這2人選擇的電話亭相隔數(shù)的分布律和期望;

(2) 若電信管理員預(yù)言這2人之間至少相隔2座電話亭,求:管理員預(yù)言為真的概率.

 

 

 

 

 

18 . (本小題滿分14分)

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設(shè)A = {x | x ¹ kp +, k ÎZ }, 已知a = ( 2cos, sin), b = (cos, 3sin), 其中 a, b Î A,

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(1) 若 a+b = , 且a =2 b,求a, b的值。

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(2) 若a?b = , 求tanatanb的值. 

 

 

 

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19. (本小題滿分14分)

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已知函數(shù) (a為非零實數(shù)),設(shè)函數(shù).

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(1)若f (? 2 ) = 0,求的表達式;

(2)在(1)的條件下,解不等式1 £ | F ( x ) | £ 2;

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(3)設(shè)mn < 0 , m  + n > 0 , 試判斷能否大于0 ?

 

 

 

 

 

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20. (本小題滿分14分)

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已知一列非零向量,nÎN*, 滿足:

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, ,(n ³ 2 ).,其中k是非零常數(shù)。

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(1)求數(shù)列{||}是的通項公式;

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(2)求向量的夾角;;

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(3)當k = 時,把,, 中所有與共線的向量按原來的順序排成一列,記為,,, , , 令=,O為坐標原點,求點列{Bn}的極限點B的坐標。(注:若點坐標為,且,,則稱點B(t,s)為點列的極限點.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2007年杭州市第一次高考科目教學質(zhì)量檢測

數(shù)學試題卷(理科)評分標準

一. 選擇題 : 本大題共10小題, 每小題5分, 共50分. 化

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

A

B

C

B

D

C

D

A

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二.填空題: 本大題有4小題, 每小題4分, 共16分. 把答案填在答題卷的相應(yīng)位置.

11. y = lg(? x )    .    12.      .        13.       14.  ①③   

 

三. 解答題: 本大題有6小題, 每小題14分,共84分. 解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.

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15. (本小題滿分14分)

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由cosa + sina =, 得 2sinacosa = sin2a = < 0,               ---5分

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又由 0< a< p, 得p < 2a <,                                  -- 4分

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∴cos2a= ?,                                              --- 5分

 

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16. (本小題滿分14分)

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(1) 當時,= 4n ? 3 ,--- 4分

       當n = 1 時, a1 = S1 = 1, 適合.        ∴a n =4n ? 3 ,         --- 2分

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,所以為等差數(shù)列.                  --- 2分

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(2)∵ ,                                           --- 2分

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∴bn=,   ---2分,

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由n2 = 900, 得 n = 30, 即存在滿足條件的自然數(shù), 且n =30.       ---2分     

 

 

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17.(本小題滿分14分)

  分布律     

X

0

1

2

3

4

5

P

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          --- 每格1分, 全對8分.

 

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期望 E (X) = 0´+1´+2´+3´+4´+5´=» 1.67,    --- 3分

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   預(yù)言為真的概率P {X³2} = +++= » 0.476.             --- 3分

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         或  P {X³2} = 1 ? ?=» 0.476.                      

 

18 . (本小題滿分14分)

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(1) ∵ a+b = ,

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∴a = ( 1, sin()), b = (, 3sin()),                       --- 4分

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由a=2 b,得sin() = 0,

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∴a = kp +, b = ? kp +, k ÎZ.                                   --- 3分

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(2) ∵a?b = 2cos2+ 3sin2= 1 + cos (a+b) +3

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=+ cos (a+b) ? cos (a? b ) =  ,                              --- 3分

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∴ cos (a+b) =cos (a? b ),

展開得2cosacosb ? 2sinasinb = 3cosacosb + 3sinasinb

即 ? 5sinasinb = cosacosb,

∵ a, b Î A,

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∴ tanatanb= ?.                                                   --- 4分

 

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19. (本小題滿分14分)

(1)∵f (? 2 ) = 0,∴ 4a + 4 = 0, 得 a = ? 1, 

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,

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 F ( x )  = .                                --- 2分

(2) ∵| F (?x ) | = | F (x ) |, ∴| F (x )|是偶函數(shù), 故可以先求x >0的情況,

        當x > 0 時,  由| F (2 )| = 0, 故當

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        0 < x £ 2時, 解不等式  1 £ £ 2, 得  £ x £ ;

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        x > 2時, 解不等式  1 £ £ 2, 得  £ x £ ;

綜合上述可知原不等式的解為:

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£ x £ £ x £ 或?£ x £?或?£ x £ ?.          ---6分

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(3)∵, ∴ F ( x )  = ,

  ∵ mn < 0 , 不妨設(shè) m > 0 , 則 n < 0 , 又 m + n > 0, ∴ m > ? n > 0 , ∴m2 > n2 ,   ---3分

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∴ F (m) + F (n) = am2 + 4 ? an2 ? 4 = a ( m2 ? n2 ) > 0.

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所以: 當a > 0 時, 能大于0,

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當a < 0 時, 不能大于0.                                     ---3分

 

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20. (本小題滿分14分)

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(1)               ---2分

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=| k | =| k |,       

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=| k | ¹ 0, = 5.

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∴{||}是首項為5公比為| k |的等比數(shù)列.

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∴  = 5(| k |)n ? 1                                       ----  2分

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(2)== k .

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     ∴cos <>= ,                      ---2分

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∴當k > 0時,<>=,

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  當k < 0時,<>=.                                       ---2分

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(3) 當k = 時,由(2)知: 4<> = p,

∴每相隔3個向量的兩個向量必共線,且方向相反,

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∴與向量共線的向量為:{}={},     ---2分

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的單位向量為,則= ||,

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= ||= ||(| k |)n ? 1 .  

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= = ||(| k |)4n ? 4 (? 1)n ? 1=(? 4|k|4 ) n ? 1 = (10, ? 5 ) (?) n ? 1  ---2分

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設(shè)  , 則 tn = 10[]=10´,

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.

∴點列{Bn}的極限點B的坐標為( 8, ? 4 ).                              ---2分

 

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