2009年常德市高三年級畢業(yè)會考
文科數(shù)學(試題卷)
注意事項:
1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號、座位號等填寫清楚,并認真核對.
2.選擇題和非選擇均須在答題卡上作答,在本試題卷和草稿紙上作答無效?忌诖痤}卡上按如下要求答題:
(1)選擇題部分請按題號用2B鉛筆填涂方框,修改時用橡皮擦干凈,不留痕跡;
(2)非選擇題部分請按照題號用
(3)請勿折疊答題卡。保持字體工整,筆跡清楚、卡面清潔。
3.本試卷共 4頁。如缺頁,考生須及時報告監(jiān)考老師,否則后果自負。
4.考試結(jié)束后,將本答題卷和答題卡一并交回.
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有 一項是符合題目要求的.
1.設(shè)集合,則下列關(guān)系中正確的是 (B)
A.M=P B. C. D.
2.已知樣本容量為30,在如圖的樣本頻率分布直方圖中,各小長方形的高的比從左到右依次為2∶4∶3∶1,則第2組的頻率和頻數(shù)分別為( A )
C. 0.4, 16 D. 0.6, 12
3.已知條件條件直線與圓相切,則是的 ( A )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.定義在R上的偶函數(shù)滿足,則可能是 (D)
A. B.
C. D.
5.在內(nèi),使成立的x的取值范圍為 (B)
A. B.
C. D.
6.若是兩個不重合的平面,是兩條不重合的直線,現(xiàn)給出下列四個命題:
①若,則;②若,則;
③若,則;④若,則
其中正確的命題是 (D)
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③④
7.已知實數(shù),則的最小值是( C )
A.
B.
8.已知△ABC的外接圓半徑為,∠ABC=1200,BC=10,則過點A且以B、C為焦點的雙曲線的離心率是 ( C)
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共7個小題,每小題5分,共35分.
9.已知函數(shù),則的值為 4
10.已知兩條直線:,若,則m=
11.若展開式中的第5項是,則x = 3
12.設(shè)動點P滿足約束條件,則的最小值為 5
13.設(shè)O點是內(nèi)一點,且,若,則 6
14.如圖,A、B、C是表面積為48π的球面上三點,
AB=2,BC=4,∠ BAC=90°,O為球心,則A、C兩
點的球面距離為 ;直線OA與截面ABC
所成的角的余弦值是
15.定義運算符號:“”,表示若干個數(shù)相乘,如:。記,其中為數(shù)列中的第i項。
(1)若,則 105
(2)若,則
三、解答題:本大題共6小題,共75分。解答應寫文字說明,證明過程或演算步驟。
16.如圖,點A、B、C都在圓A和B的橫坐標分別是1和,,記
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)由已知A、B的坐標分別是(1,0),……………………1分
設(shè)C的坐標是(),
得
又
解得 , ………4分
………………………… 6分
(2) 由三角函數(shù)的定義可知 ……8分
由(1)知
…………………………………10分
…………………………………12分
17.某品牌服飾店以每件200元進了一批服裝,門市部標價每件300元,五一節(jié)期間商家對這批服裝進行促銷活動,方案是:按標價銷售,但顧客每買一件可按以下方法摸一次再兌獎:箱內(nèi)裝有標著數(shù)字0、20、40、60、80的小球各兩個,顧客從箱子內(nèi)任取三個小球,按三個小球中最大數(shù)字等額返還現(xiàn)金(單位:元),每個小球被取到的可能性都相等。
(1)求摸一次摸得的三個小球上的數(shù)字各不相同的概率;
(2)若有3位顧客各買了一件,求至少有兩人返獎不少于60元的概率.
解:(1)解法一:“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為,
則
解法二:“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”,“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為,則事件和事件是對立事件因為,所以.…………4分
(2)設(shè)E=“返獎60元”,F(xiàn)=“返獎80元”
,…………8分
每一位顧客返獎不少于60元的概率…………9分
故3位顧客中至少有兩人返獎不少于60元的概率是:
.…………12分
18.直四棱柱ABCD―A1B
(1)求證:EC1∥AD1;
(2)在線段AD上求一點F,使EF⊥平面ACD1;
(3)求平面EAC1與底面ABCD所成的銳二面角的大小.
解答
(1)以A為原點,AB、AD、AA1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系
則,∴
,∴EC1∥AD1
(2)設(shè)點F的坐標為,則,
則由
故所求點為,即AD的中點為所求。
(3)設(shè)平面EAC1的法向量為,由
,取,而平面ABCD
的法向量可取為,故
∴,故所求二面角的大小為
19.如圖,已知橢圓以雙曲線的焦點為頂點,頂點為焦點。過點的直線與橢圓交于兩點、,過作直線垂直于軸,交橢圓于另一點.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 求證:與軸交于定點,并求點的坐標。
解(1)易求出橢圓的方程是…………4分
(2)據(jù)題意設(shè)的方程:,代入橢圓方程得:
①
…………8分
據(jù)題意有,則直線的方程:…………9分
令得
=3+==3-
可知與軸交于定點,…………13分
20.已知數(shù)列、的前n項和分別為、,且滿足,.
(1)求的值,并證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(2) 試確定實數(shù)的值,使數(shù)列是等差數(shù)列。
解:(1)由已知得,∴,易得 ………2分
由得,
上面兩式作差得 ……4分
∴數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列 …… 6分
(2)由(1)知
而 …………8分
…………………………10分
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)
即
當且僅當,即時,數(shù)列為等差數(shù)列.……13分
21.已知函數(shù)(、、、∈R)對任意都有,且時,取極大值 函數(shù)
(1) 求的解析式;
(2)是否存在實數(shù)m,使得對任意的,總存在,都有 成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
解:(I)因為,成立,所以,
∵,由 ,得 ,
由,得
解之得: 從而,函數(shù)解析式為:
(2)所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,因此當時,,
即
因此有故存在實數(shù)m,
使得成立,其取值范圍是
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