Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

．且過點（3，-1）．
（1）求橢圓C的方徎；
（2）若動點P在直線l：x=-2

2

上，過P作直線交橢圓C于M，N兩點，使得PM=PN，再過P作直線l′⊥MN，直線l′是否恒過定點，若是，請求出該定點的坐標；若否，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

9 a2 + 1 b2 =1 c2 a2 = a2-b2 a2 =( 6 3 )2

，同此能求出橢圓C的方程．
（2）直線l的方程為x=-2

2

，設P（-2

2

，y₀），y0∈(-

2 3

3

，

2 3

3

)，當y₀≠0時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意知x₁≠x₂，利用點差法l′的方程為y=-

3y0

2 2

(x+

4 2

3

)，從而得到l′恒過定點(-

4 2

3

，0)．當y₀=0時，直線MN為x=-2

2

，由此推導出l′恒過定點(-

4 2

3

，0)．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

．且過點（3，-1），
∴

9 a2 + 1 b2 =1 c2 a2 = a2-b2 a2 =( 6 3 )2

，
解得a²=12，b²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）∵直線l的方程為x=-2

2

，
設P（-2

2

，y₀），y0∈(-

2 3

3

，

2 3

3

)，
當y₀≠0時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意知x₁≠x₂，
聯(lián)立

x12 12 + y12 4 =1 x22 12 + y22 4 =1

，
∴

x12-x22

12

+

y12-y22

4

=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

3

•

x1+x2

y1+y2

，
又∵PM=PN，∴P為線段MN的中點，
∴直線MN的斜率為-

1

3

•

-2 2

y0

=

2 2

3y0

，
又l′⊥MN，∴l(xiāng)′的方程為y-y0=-

3y0

2 2

(x+2

2

)，
即y=-

3y0

2 2

(x+

4 2

3

)，
∴l(xiāng)′恒過定點(-

4 2

3

，0)．
當y₀=0時，直線MN為x=-2

2

，
此時l′為x軸，也過點(-

4 2

3

，0)，
綜上，l′恒過定點(-

4 2

3

，0)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否恒過定點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．