Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若f（

π

24

）=

2

sinA，其中A是面積為

3 3

2

的銳角△ABC的內(nèi)角，且AB=2，求邊AC和BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)周期公式求得最小正周期，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．
（2）把x=

π

24

帶入函數(shù)解析式求得A，然后利用三角形面積公式求得AC，最后根據(jù)余弦定理求得BC．

解答： （1）解：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期為

2π

2

=π，最大值為

2

．
（2）∵f（

π

24

）=

2

sinA，即

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

∵A是銳角，
∴A=

π

3

，
∵S=

1

2

AB•AC•sinA=

3 3

2

，
∴AC=3
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AB•AC•cosA=7
∴BC=

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．