【題目】已知函數(shù), 且.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),令, 為常數(shù),求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)
【解析】試題分析:
(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可得:
當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
(2)首先求解 ,據(jù)此分類討論求解函數(shù)的最小值,最后結(jié)合恒成立的條件可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
試題解析:
(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,
所以
令,解得或(舍去)
當(dāng)時(shí), ,所以在上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí), ,所以在上單調(diào)遞增
所以是的極小值點(diǎn), 的最小值為
當(dāng),即時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng),即時(shí),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)
當(dāng),即時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
(Ⅱ)由已知
令,解得.
由于
①若,則,故當(dāng)時(shí), ,因此在上單調(diào)遞減,所以,又因?yàn)?/span>
則不成立
②若,則,故當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
所以
因?yàn)?/span>,所以
則
因此當(dāng)時(shí), 恒成立
③若,則,故當(dāng)時(shí), ,因此在上單調(diào)遞增,
故,令,化簡(jiǎn)得
解得,所以
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知0<α<π,tanα=﹣2.
(1)求sin(α+ )的值;
(2)求 的值;
(3)2sin2α﹣sinαcosα+cos2α
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 若點(diǎn)在上,且.
(1)求的值;
(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與交于(異于)兩點(diǎn), 證明: 直線與直線的斜率之積為常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)分別為、,上、下頂點(diǎn)分別為、, 為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形的面積為,且該四邊形內(nèi)切圓的方程為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若、是橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),直線、的斜率之積等于,試探求的面積是否為定值,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為實(shí)數(shù), 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線在處的切線與直線平行.
(1)求實(shí)數(shù)的值,并判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)證明:當(dāng)時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+m(m為常數(shù),n∈N+)
(1)求a1 , a2 , a3;
(2)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求常數(shù)m的值及an;
(3)對(duì)于(2)中的an , 記f(n)=λa2n+1﹣4λan+1﹣7,若f(n)<0對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱錐中, , , 分別為, 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值;
(Ⅲ)若平面與棱交于點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一段圓錐曲線,曲線與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是, , .
(Ⅰ)若該曲線表示一個(gè)橢圓,設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且斜率是,求直線與這個(gè)橢圓的公共點(diǎn)的坐標(biāo).
(Ⅱ)若該曲線表示一段拋物線,求該拋物線的方程.
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