【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+m(m為常數(shù),n∈N+)
(1)求a1 , a2 , a3
(2)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,求常數(shù)m的值及an
(3)對于(2)中的an , 記f(n)=λa2n+1﹣4λan+1﹣7,若f(n)<0對任意的正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

【答案】
(1)解:a1=S1=2+m,

由S2=a1+a2,得a2=2,

由S3=a1+a2+a3,得a3=4


(2)解:∵a1=a+2,當n≥2時, ,

又{an}為等比數(shù)列,∴a1=1,

即m+2=1,得m=﹣1,


(3)解:∵ ,∴f(n)=λ22n﹣4λ2n﹣7,

令t=2n,則t≥2,f(n)=λt2﹣4λt﹣7=λ(t﹣2)2﹣4λ﹣7,

設g(t)=λ(t﹣2)2﹣4λ﹣7,

當λ=0時,f(n)=﹣7<0恒成立,

當λ>0時,g(t)=λ(t﹣2)2﹣4λ﹣7對應的點在開口向上的拋物線上,

∴f(n)<0不可能恒成立,

當λ<0時,g(t)=λ(t﹣2)2﹣4λ﹣7在t≥2時有最大值﹣4λ﹣7,

∴要使f(n)<0對任意的正整數(shù)n恒成立,

只需﹣4λ﹣7<0,即 ,此時 ,

綜上實數(shù)λ的取值范圍為


【解析】(1)由 ,能求出a1 , a2 , a3 . (2)由a1=a+2,當n≥2時, ,{an}為等比數(shù)列,求出a1=1,由此能求出常數(shù)m的值及an . (3)由 ,得f(n)=λ22n﹣4λ2n﹣7,令t=2n , 則t≥2,f(n)=λt2﹣4λt﹣7=λ(t﹣2)2﹣4λ﹣7,設g(t)=λ(t﹣2)2﹣4λ﹣7,由此能求出實數(shù)λ的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數(shù)列的通項公式(及其變式)的相關知識,掌握通項公式:,以及對數(shù)列的前n項和的理解,了解數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系

練習冊系列答案
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類型

已行駛總里程不超過10萬公里的車輛數(shù)

10

40

30

已行駛總里程超過10萬公里的車輛數(shù)

20

20

20

(1)從這140輛汽車中任取一輛,求該車行駛總里程超過10萬公里的概率;

(2)公司為了了解這些車的工作狀況,決定抽取了14輛車進行車況分析,按表中描述的六種情況進行分層抽樣,設從類車中抽取了輛車.

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