【題目】已知函數(shù)(為實數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在處的切線與直線平行.
(1)求實數(shù)的值,并判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù);
(2)證明:當(dāng)時, .
【答案】(1),沒有零點;(2)見解析.
【解析】【試題分析】(1)先借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求出的值,再運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解;(2)借助題設(shè)先將不等式進行等價轉(zhuǎn)化,再運用導(dǎo)數(shù)知識進行分析推證:
(1),由題設(shè),可知曲線在處的切線的斜率,解得,
∴,
∴當(dāng)時, ,
∴在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),
又,∴在區(qū)間內(nèi)沒有零點.
(2)當(dāng)時, 等價于,記,
則,當(dāng)時, ,
∴當(dāng)時, 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,
∴,即,兩邊取自然對數(shù),得(),
∴要證明(),只需證明(),
即證當(dāng)時, ,①
設(shè),則,令,
則,當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,又, , ,∴,∴存在,使得,
∴當(dāng)時, ;
當(dāng)時, ,∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,
又,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,即①式成立,
∴.
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【題目】如圖所示, 矩形所在的平面, 分別是的中點.
(1)求證: 平面;
(2)求證: .
(3)當(dāng)滿足什么條件時,能使平面成立?并證明你的結(jié)論.
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【題目】關(guān)于下列命題
①函數(shù)y=tanx在第一象限是增函數(shù);
②函數(shù)y=cos2( ﹣x)是偶函數(shù);
③函數(shù)y=4sin(2x﹣ )的一個對稱中心是( ,0);
④函數(shù)y=sin(x+ )在閉區(qū)間[﹣ , ]上是增函數(shù);
寫出所有正確的命題的題號: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 且.
(Ⅰ)當(dāng)時,令, 為常數(shù),求函數(shù)的零點的個數(shù);
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E為BB1中點.
(1)證明:AC⊥D1E;
(2)求DE與平面AD1E所成角的正弦值.
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【題目】某出租車公司響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召,已陸續(xù)購買了140輛純電動汽車作為運營車輛,目前我國主流純電動汽車按續(xù)航里程數(shù).(單位:公里)分為3類,即類:,類:, 類:,該公司對這140輛車的行駛總里程進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
類型 | 類 | 類 | 類 |
已行駛總里程不超過10萬公里的車輛數(shù) | 10 | 40 | 30 |
已行駛總里程超過10萬公里的車輛數(shù) | 20 | 20 | 20 |
(1)從這140輛汽車中任取一輛,求該車行駛總里程超過10萬公里的概率;
(2)公司為了了解這些車的工作狀況,決定抽取了14輛車進行車況分析,按表中描述的六種情況進行分層抽樣,設(shè)從類車中抽取了輛車.
①求的值;
②如果從這輛車中隨機選取兩輛車,求恰有一輛車行駛總里程超過10萬公里的概率.
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【題目】在等比數(shù)列{an}中,公比q≠1,等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1=3,b4=a2 , b13=a3 .
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)記cn=(﹣1)nbn+an , 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn .
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【題目】某中學(xué)為了解高中入學(xué)新生的身高情況,從高一年級學(xué)生中按分層抽樣共抽取了50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù),分組統(tǒng)計后得到了這50名學(xué)生身高的頻數(shù)分布表:
(Ⅰ)在答題卡上作出這50名學(xué)生身高的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計這50名學(xué)生身高的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅲ)現(xiàn)從身高在這6名學(xué)生中隨機抽取3名,求至少抽到1名女生的概率.
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