【題目】如圖,在正四棱錐中, , , 分別為, 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的余弦值;
(Ⅲ)若平面與棱交于點(diǎn),求的值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】試題分析:
(Ⅰ)設(shè),則為底面正方形中心,連接.因?yàn)?/span>為正四棱錐,所以平面,所以.又,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)果.(Ⅱ)因?yàn)?/span>, , 兩兩互相垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,然后再利用空間向量和法向量,即可求出結(jié)果;(Ⅲ)連接.設(shè),其中,則,所以,設(shè)平面的法向量為,又,所以即可得,因?yàn)?/span>平面,所以,據(jù)此即可求出結(jié)果.
試題解析:
(Ⅰ)設(shè),則為底面正方形中心,連接.
因?yàn)?/span>為正四棱錐,
所以平面,
所以.
又,且,
所以平面.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>, , 兩兩互相垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
∵,∴,
∴,
設(shè),所以, , , , , , .
∴, .
∴,
即異面直線與所成角的余弦值為.
(Ⅲ)連接.
設(shè),其中,則,
所以,
設(shè)平面的法向量為,又,所以即
所以,令, ,所以,
因?yàn)?/span>平面,所以,
即,解得,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:
(1)畫(huà)出莖葉圖
(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、方差,并判斷選誰(shuí)參加比賽比較合適?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), 且.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),令, 為常數(shù),求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某出租車公司響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召,已陸續(xù)購(gòu)買了140輛純電動(dòng)汽車作為運(yùn)營(yíng)車輛,目前我國(guó)主流純電動(dòng)汽車按續(xù)航里程數(shù).(單位:公里)分為3類,即類:,類:, 類:,該公司對(duì)這140輛車的行駛總里程進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
類型 | 類 | 類 | 類 |
已行駛總里程不超過(guò)10萬(wàn)公里的車輛數(shù) | 10 | 40 | 30 |
已行駛總里程超過(guò)10萬(wàn)公里的車輛數(shù) | 20 | 20 | 20 |
(1)從這140輛汽車中任取一輛,求該車行駛總里程超過(guò)10萬(wàn)公里的概率;
(2)公司為了了解這些車的工作狀況,決定抽取了14輛車進(jìn)行車況分析,按表中描述的六種情況進(jìn)行分層抽樣,設(shè)從類車中抽取了輛車.
①求的值;
②如果從這輛車中隨機(jī)選取兩輛車,求恰有一輛車行駛總里程超過(guò)10萬(wàn)公里的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下:消費(fèi)額每滿100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)一次,并獲得相應(yīng)金額的返券,假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區(qū)域返券60元;停在B區(qū)域返券30元;停在C區(qū)域不返券.例如:消費(fèi)218元,可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(1)若某位顧客消費(fèi)128元,求返券金額不低于30元的概率;
(2)若某位顧客恰好消費(fèi)280元,并按規(guī)則參與了活動(dòng),他獲得返券的金額記為(元).求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在等比數(shù)列{an}中,公比q≠1,等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1=3,b4=a2 , b13=a3 .
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,△是等邊三角形,△是等腰直角三角形,,平面⊥平面,⊥平面,點(diǎn)為的中點(diǎn),連接.
(1)求證:平面;
(2)若,求三棱錐的體積.
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【題目】已知圓的半徑為,圓心在第一象限,且與直線和軸都相切.
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