Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=

an

3

+

1

3n

．?dāng)?shù)列{b_n}，b_n=3^n-1a_n．正數(shù)數(shù)列{d_n}，d_n²=1+

1

bn2

+

1

bn+12

．
（1）求證：數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}，{d_n}的前n項(xiàng)和分別為B_n，D_n，求數(shù)列{b_nD_n+d_nB_n-b_nd_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{b_n}，{d_n}的前n項(xiàng)和分別為B_n，D_n，利用裂項(xiàng)法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由a_n+1=

an

3

+

1

3n

．得3nan+1=3n-1an+1．
又b_n=3^n-1a_n，
所以b_n+1=b_n+1，
又b₁=a₁=1，所以數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）得b_n=1+（n-1）×1=n，B_n=

n(n+1)

2

，
因?yàn)閐_n²=1+

1

bn2

+

1

bn+12

．
所以d_n²=1+

1

bn2

+

1

bn+12

=1+

2n(n+1)+1

n2(n+1)2

=[1+

1

n(n+1)

]²．
由d_n＞0，得d_n=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

．
于是，D_n=n+1-

1

n+1

，
又當(dāng)n≥2時(shí)，
b_nD_n+d_nB_n-b_nd_n=（B_n-B_n-1）D_n+（D_n-D_n-1）B_n-（B_n-B_n-1）（D_n-D_n-1）=B_nD_n-B_n-1D_n-1，
所以S_n=（B_nD_n-B_n-1D_n-1）+（B_n-1D_n-1-B_n-2D_n-2）+…+（B₂D₂-B₁D₁）+B₁D₁=B_nD_n…14分
因S₁=b₁D₁+d₁B₁-b₁d₁=B₁D₁也適合上式，故對(duì)于任意的n∈N^*，都有S_n=B_nD_n．
所以S_n=B_nD_n=

n(n+1)

2

•（n+1-

1

n+1

）=

1

2

（n³+2n²）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的判斷，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．