Question

如圖所示，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，平面PDCE⊥平面ABCD，AB=AD=

1

2

CD=1，PD=

2

．
（Ⅰ）若M為PA中點，求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求該幾何體被平面PBD所分成的兩部分的體積比．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）M為PA中點，連結(jié)PC，交DE與N，連結(jié)MN，通過直線與平面平行的判定定理即可求證：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）證明PD⊥平面ABD，求出V_P-AED，證明AD⊥平面PDCE，求出四棱錐的體積V_E-PDCE的體積即可得到比值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連結(jié)PC，交DE與N，連結(jié)MN，
△PAC中，M，N分別為兩腰PA，PC的中點，
∴MN∥AC．…（2分）
因為MN?面MDE，又AC?面MDE，
所以AC∥平面MDE．…（4分）


（Ⅱ）解：由四邊形PDCE為矩形，知PD⊥DC．
又平面PDCE⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABD            …（6分）
三棱錐P-ABD的體積為
V_P-AED=

1

3

S△AED×PD=

1

3

×

1

2

AB×AD×PD=

1

6

×1×1×

2

=

2

6

．…（8分）
由已知AD⊥DC，又平面PDCE⊥平面ABCD，
∴AD⊥平面PDCE，∵AB∥CD，四棱錐的體積為
V_E-PDCE=

1

3

SPDCE×AD=

1

3

CD×PD×AD=

1

3

×2×

2

×1=

2 2

3

．…（10分）

VE-PDCE

VP-AED

=

2 2 3

2 6

=4，或者

VP-AED

VE-PDCE

=

2 6

2 2 3

=

1

4

，
所以原幾何體被平面PBD所分成的兩部分的體積比4或

1

4

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面的平行的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．