Question

已知函數(shù)f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x可得f′（1）=-2，可求出a的值；
（Ⅱ）根據(jù)（I）可得函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，
∴f′（x）=

1

4

-

a

x2

-

1

x

，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x．
∴f′（1）=

1

4

-a-1=-2，
解得：a=

5

4

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

x

4

+

5

4x

-lnx-

3

2

，
f′（x）=

1

4

-

5

4x2

-

1

x

=

x2-4x-5

4x2

（x＞0），
令f′（x）=0，
解得x=5，或x=-1（舍），
∵當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（5，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（5，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（0，5）；
當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取極小值-ln5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．