Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
（Ⅰ）證明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用,立體幾何

分析：（I）以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出BE，DC的方向向量，根據(jù)

BE

•

DC

=0，可得BE⊥DC；
（II）求出平面PBD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）根據(jù)BF⊥AC，求出向量

BF

的坐標(biāo)，進而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值．

解答： 證明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴

BE

=（0，1，1），

DC

=（2，0，0）
∵

BE

•

DC

=0，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）∵

BD

=（-1，2，0），

PB

=（1，0，-2），
設(shè)平面PBD的法向量

m

=（x，y，z），
由

m • BD =0 m • PB =0

，得

-x+2y=0 x-2z=0

，
令y=1，則

m

=（2，1，1），
則直線BE與平面PBD所成角θ滿足：
sinθ=

m • BE

| m |•| BE |

=

2

6 × 2

=

3

3

，
故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為

3

3

．
（Ⅲ）∵

BC

=（1，2，0），

CP

=（-2，-2，2），

AC

=（2，2，0），
由F點在棱PC上，設(shè)

CF

=λ

CP

=（-2λ，-2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故

BF

=

BC

+

CF

=（1-2λ，2-2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得

BF

•

AC

=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，
解得λ=

3

4

，
即

BF

=（-

1

2

，

1

2

，

3

2

），
設(shè)平面FBA的法向量為

n

=（a，b，c），
由

n • AB =0 n • BF =0

，得

a=0 - 1 2 a+ 1 2 b+ 3 2 c=0

令c=1，則

n

=（0，-3，1），
取平面ABP的法向量

i

=（0，1，0），
則二面角F-AB-P的平面角α滿足：
cosα=

| i • n |

| i |•| n |

=

3

10

=

3 10

10

，
故二面角F-AB-P的余弦值為：

3 10

10

點評：本題考查的知識點是空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答的關(guān)鍵．