Question

在直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（2，3），C（3，2），點P（x，y）在△ABC三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上．
（Ⅰ）若

PA

+

PB

+

PC

=

0

，求|

OP

|；
（Ⅱ）設

OP

=m

AB

+n

AC

（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,平面向量的坐標運算

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）先根據

PA

+

PB

+

PC

=

0

，以及各點的坐標，求出點p的坐標，再根據向量模的公式，問題得以解決；
（Ⅱ）利用向量的坐標運算，先求出

AB

，

AC

，再根據

OP

=m

AB

+n

AC

，表示出m-n=y-x，最后結合圖形，求出m-n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），

PA

+

PB

+

PC

=

0

，
∴（1-x，1-y）+（2-x，3-y）+（3-x，2-y）=0
∴3x-6=0，3y-6=0
∴x=2，y=2，
即

OP

=（2，2）
∴|

OP

|=

22+22

=2

2

（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴

AB

=(1，2)，

AC

=(2，1)
∵

OP

=m

AB

+n

AC

，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m-n=y-x，
令y-x=t，由圖知，當直線y=x+t過點B（2，3）時，t取得最大值1，
故m-n的最大值為1．

點評：本題考查了向量的坐標運算，關鍵在于審清題意，屬于中檔題，