Question

已知定義域在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值為a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r為正實(shí)數(shù)，且p+q+r=a，求證：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式,絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由絕對(duì)值不等式|a|+|b|≥|a-b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0，取等號(hào)；
（2）由柯西不等式：（a²+b²+c²）（d²+e²+f²）≥（ad+be+cf）²，即可證得．

解答： （1）解：∵|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立，
∴f（x）的最小值為3，即a=3；
（2）證明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r為正實(shí)數(shù)，
∴由柯西不等式得，（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²
=（p+q+r）²=3²=9，
即p²+q²+r²≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．