【題目】如圖，在直角中，，，，、分別是、上一點(diǎn)，且滿足平分，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）在直角中，連接交于點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，則在三棱錐中，可得出，，可推導(dǎo)出平面，進(jìn)而可得出；

（2）推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得其正弦值.

（1）在直角中，連接交于點(diǎn)，如下圖所示：

，，且，，

平分，，則有，，

在三棱錐中，，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，在三棱錐中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

，、、兩兩垂直，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，得，可得，

令，則，，可得.

易知平面的一個(gè)法向量為，所以，，

設(shè)二面角的平面角為，則.

因此，二面角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

A. B. C. D.

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【題目】冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知的有中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重的疾病，新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，某小區(qū)為進(jìn)一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識(shí)的教育，在小區(qū)內(nèi)開展“新型冠狀病毒防疫安全公益課”在線學(xué)習(xí)，在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識(shí)競(jìng)賽”在線活動(dòng)．已知進(jìn)入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主，決賽后四位業(yè)主相應(yīng)的名次為第1，2，3，4名，該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度，邀請(qǐng)小區(qū)內(nèi)的所有業(yè)主在比賽結(jié)束前對(duì)四位業(yè)主的名次進(jìn)行預(yù)測(cè)，若預(yù)測(cè)完全正確將會(huì)獲得禮品，現(xiàn)用表示某業(yè)主對(duì)甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預(yù)測(cè)排列，記．

（1）求出的所有可能情形；

（2）若會(huì)有小禮品贈(zèng)送，求該業(yè)主獲得小禮品的概率，

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)，直線與曲線相交于點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某快遞公司招聘快遞騎手，該公司提供了兩種日工資方案：方案（1）規(guī)定每日底薪50元，快遞騎手每完成一單業(yè)務(wù)提成3元：方案（2）規(guī)定每日底薪100元，快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成，從第45單開始，每完成一單提成5元．該快遞公司記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快遞公司的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；

（Ⅱ）若騎手甲、乙、丙選擇了日工資方案（1），丁、戊選擇了日工資方案（2）．現(xiàn)從上述5名騎手中隨機(jī)選取2人，求至少有1名騎手選擇方案（2）的概率；

（Ⅲ）若僅從人均日收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

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【題目】已知扇環(huán)如圖所示，是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍為_________.

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【題目】已知實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則______

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）求圓的圓心到直線的距離；

（2）已知，若直線與圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求的值.

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【題目】國(guó)家統(tǒng)計(jì)局進(jìn)行第四次經(jīng)濟(jì)普查，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從15個(gè)發(fā)達(dá)地區(qū)，10個(gè)欠發(fā)達(dá)地區(qū)，5個(gè)貧困地區(qū)中選取6個(gè)作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)，然后再逐級(jí)確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū).普查過程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn)，然后確定對(duì)象，最后入戶登記，由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致入戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶，普查情況如下表所示：

普查對(duì)象類別

順利

不順利

合計(jì)

企事業(yè)單位

40

10

50

個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶

90

60

150

合計(jì)

130

70

200

（1）寫出選擇6個(gè)國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)采用的抽樣方法；

（2）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”，分析造成這個(gè)結(jié)果的原因并給出合理化建議.

附：參考公式： ，其中

參考數(shù)據(jù)：

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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