【題目】已知扇環(huán)如圖所示,是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足,則的取值范圍為_________.
【答案】
【解析】
建立直角坐標(biāo)系,易知,分以下四種情況討論:(1)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí);(2)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí);(3)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí);(4)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí).(1)(2)根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)范圍可得出x和y的范圍,從而可求的范圍;(3)(4)同理,可利用圓的的參數(shù)方程表示,從而得到的三角函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)輔助角公式即可得到結(jié)果.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸建立平面直角坐標(biāo)系,易知,
(1)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),向量與共線(xiàn),顯然,
此時(shí),因?yàn)辄c(diǎn)在上,
其橫坐標(biāo)滿(mǎn)足:,所以;
(2)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),向量與共線(xiàn),顯然,
此時(shí),因?yàn)辄c(diǎn)在上,
其橫坐標(biāo)滿(mǎn)足:,
則,所以;
(3)當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè),
由,得,
即,可得,
變形可得,其中,
因?yàn)?/span>是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足,所以均為非負(fù)實(shí)數(shù),
,因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí),取得最大值,的最大值為,
由,所以當(dāng)時(shí),取得最大角,
此時(shí)取得最小值,即,
所以,的最小值為1;
(4)同理可得當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),因?yàn)?/span>,
故的最大值為,最小值為.
綜上所述,.
【點(diǎn)晴】
本題考查平面向量的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是三角恒等變形、分類(lèi)討論思想以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,屬難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DBCE為平行四邊形,F是CD的中點(diǎn),
(1)證明:平面ADE;
(2)若四邊形DBCE為矩形,且四邊形DBCE所在的平面與圓O所在的平面互相垂直,,AE與圓O所在的平面的線(xiàn)面角為60°.求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,,,,,側(cè)面為等邊三角形.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn),他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.其含義是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,如圖,夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為,,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面面積分別為、,則“、不總相等”是“,不相等”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角中,,,,、分別是、上一點(diǎn),且滿(mǎn)足平分,,以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且平面平面.
(1)證明:;
(2)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn)C:()的焦點(diǎn)為
(1)動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)F點(diǎn)且與拋物線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)M在y軸的左側(cè),過(guò)點(diǎn)M作拋物線(xiàn)C準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為M1,點(diǎn)E在上,且滿(mǎn)足連接并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D,的面積為,求拋物線(xiàn)C的方程及D點(diǎn)的縱坐標(biāo);
(2)點(diǎn)H為拋物線(xiàn)C準(zhǔn)線(xiàn)上任一點(diǎn),過(guò)H作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn),,切點(diǎn)為A,B,證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),并求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,焦距為2,直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),且,求直線(xiàn)方程;
(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn),的斜率分別為,,若,求面積的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè),用表示不超過(guò)的最大整數(shù),則稱(chēng)為高斯函數(shù),例如:,.已知函數(shù),函數(shù),則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是( )
①圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng);
②是奇函數(shù);
③在上是增函數(shù);
④的值域是.
A.B.C.D.
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