【題目】四棱錐中，底面為矩形， .側(cè)面底面.

（1）證明： ；

（2）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】【試題分析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，由已知，所以，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，有平面，以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得證.（2）設(shè)，利用直線和平面所成角為，計(jì)算，再利用平面和平面的法向量計(jì)算二面角的余弦值.

【試題解析】

解：（1）證法一：設(shè)中點(diǎn)為，連接，

由已知，所以，

而平面平面，交線為

故平面

以為原點(diǎn)， 為軸， 為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，

則

所以

，所以.

證法二：設(shè)中點(diǎn)為，連接，由已知，所以，

而平面平面，交線為

故平面，從而 ①

在矩形中，連接，設(shè)與交于，

則由知，所以

所以，故 ②

由①②知平面

所以.

（2）由，平面平面，交線為，可得平面，

所以平面平面，交線為

過(guò)作，垂足為，則平面

與平面所成的角即為角

所以

從而三角形為等邊三角形，

（也可以用向量法求出，設(shè)，則，可求得平面的一個(gè)法向量為，而，由可解得）

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

， 可取

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

，可取

于是，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后為數(shù)字）

（2）利用（1）中的回歸方程，分析這戶家庭的年飲食支出的變化情況，并預(yù)測(cè)該地年收入 萬(wàn)元的家庭的年飲食支出.（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)字）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

，

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（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在底面邊界及內(nèi)部，二面角的余弦值為，求的最小值．

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【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形， ， ，

，點(diǎn)在線段上，且， ， 平面.

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【題目】平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心為.已知點(diǎn)，且為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，拋物線： 的焦點(diǎn)為.， 是過(guò)點(diǎn)互相垂直的兩條直線，直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

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【題目】如圖，已知四棱錐， 平面，底面中， ， ，且， 為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）問(wèn)在棱上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，請(qǐng)求出二面角的余弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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組號(hào)

分組

喜歡微信支付的人數(shù)

喜歡微信支付的人數(shù)

占本組的頻率

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

第六組

（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求， ， 的值；

（2）在第四、五、六組“喜歡微信支付”的人中，用分層抽樣的方法抽取人參加“微信支付日鼓勵(lì)金”活動(dòng)，求第四、五、六組應(yīng)分別抽取的人數(shù)；

（3）在（2）中抽取的人中隨機(jī)選派人做采訪嘉賓，求所選派的人沒(méi)有第四組人的概率.

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