Question

【題目】隨機(jī)將1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個(gè)數(shù)．A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2，記ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.

(1)當(dāng)n＝3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C)；

(3)對(duì)(2)中的事件C， 表示C的對(duì)立事件，判斷P(C)和P()的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2) 見解析;(3) 見解析.

【解析】試題分析：（1）寫出變量的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率值，即可列出分布列，從而求得數(shù)學(xué)期望；

（2）求出總基本事件個(gè)數(shù)及滿足條件的事件個(gè)數(shù)，即可求解；

（3）寫出兩個(gè)概率，用數(shù)學(xué)歸納法求解即可。

試題解析：(1)當(dāng)n＝3時(shí)，ξ的所有可能取值為2,3,4,5.

將6個(gè)正整數(shù)平均分成A、B兩組，不同的分組方法共有C＝20種，所以ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5
P

E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.

(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值為：n－1，n，n＋1，…，2n－2.

又ξ和η恰好相等且等于n－1時(shí)，不同的分組方法有2種；

ξ和η恰好相等且等于n時(shí)，不同的分組方法有2種；

ξ和η恰好相等且等于n＋k(k＝1,2，…，n－2)(n≥3)時(shí)，不同的分組方法有2C種；

∴當(dāng)n＝2時(shí)，P(C)＝＝，

當(dāng)n≥3時(shí)，P(C)＝

(3)由(2)知，當(dāng)n＝2時(shí)，P()＝，因此P(C)＞P()．

而當(dāng)n≥3時(shí)，P(C)＜P()，理由如下：

P(C)＜P()等價(jià)于4(2＋)＜C.①

用數(shù)學(xué)歸納法來證明：

1°當(dāng)n＝3時(shí)，①式左邊＝4(2＋C)＝4(2＋2)＝16，①式右邊＝C＝20，所以①式成立．

2°假設(shè)n＝m(m≥3)時(shí)①式成立，

即4(2＋)＜C成立，

那么，當(dāng)n＝m＋1時(shí)，

左邊＝4(2＋)

＝4(2＋)＋4C＜C＋4C

＝＋

＝

＜

＝C·＜C＝右邊．

即當(dāng)n＝m＋1時(shí)①式也成立．

綜合1°，2°得：對(duì)于n≥3的所有正整數(shù)，都有P(C)＜P()成立.