Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；

（2）試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)， 只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，則，而在上恒成立，所以在上遞減，由，可得

當(dāng)時(shí)， ， 遞增；當(dāng)時(shí)， 遞減；所以，比較的大小可得，進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）原方程等價(jià)于實(shí)根的個(gè)數(shù)，原命題也等價(jià)于在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，討論， ， ，三種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象與零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，則，

而在上恒成立，所以在上遞減，

， ，

所以在上存在唯一的，使得，而且

當(dāng)時(shí)， ， 遞增；當(dāng)時(shí)， 遞減；

所以，當(dāng)時(shí)， 取極大值，也是最大值，即，

，

所以， 在上的值域?yàn)?/span>.

（2）令，得， 顯然不是方程的根，

那么原方程等價(jià)于實(shí)根的個(gè)數(shù)，令，

原命題也等價(jià)于在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

又因?yàn)?/span>，所以在和上都是單調(diào)遞增的；

（I）若，則

當(dāng)時(shí)， 恒成立，則沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ， ，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點(diǎn)。

（II）若，則

當(dāng)時(shí)， 恒成立，則沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ， ，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點(diǎn)

（III）若，則

當(dāng)時(shí)，由 ，則，

則取，則，又，所以在有唯一的零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)， ，

，又在上單調(diào)遞增的，所以有唯一的零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)零點(diǎn)．